Поверхностные интегралы второго рода

Для того чтобы определить поверхностный интеграл второго рода, нужно ввести понятие стороны поверхности, аналогичное понятию ориентации кривой.

Пусть Σ – гладкая поверхность. Возьмем на Σ некоторую внутреннюю точку М₀, проведем через нее нормаль к поверхности Σ и выберем на этой нормали одно из двух возможных направлений. Это можно сделать, зафиксировав определенный единичный вектор , нормальный к поверхности Σ в точке М₀. Проведем теперь на поверхности Σ через точку М₀ какой-либо замкнутый контур С, не имеющий общих точек с границей поверхности, и будем двигать единичный вектор из точки M₀ вдоль С так, чтобы этот вектор все время оставался нормальным к Σ и чтобы его направление менялось при этом движении непрерывно. По­скольку вектор все время остается нормальным к Σ, то имеются две возможности: при возвращении в точку M₀ вектор возвращается в первоначальное положение; в результате обхода по контуру С вектор меняет свое направление на противоположное.

Гладкая поверхность Σ называется двусторонней, если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности Σ и не имеющему общих точек с ее границей, не меняет направления нормали к поверхности. Если же на поверхности существует замкнутый контур, по которому направление нормали меняется на противоположное (при движении ее по контуру), то поверхность называется односторонней. Если поверхность Σ двусторонняя, то в каждой ее точке М можно выбрать единичный вектор нормали (М) так, чтобы вектор (М) зависел от точки М непрерывно ( (М) будет называться «непрерывным полем нормалей» на поверхности Σ). На односторонней поверхности нельзя построить ни одного непрерывного поля нормалей. Выбор на поверхности Σ определенного непрерывного поля нормалей будет называться выбором стороны этой поверхности.

Замечания:

1. Двустороннюю поверхность называют ориентируемой, а выбор определенной ее стороны – ориентацией поверхности. Односторонние поверхности называют не ориентируемыми.

2. Пусть Σ – ориентированная поверхность, ограниченная одним или несколькими контурами. Определим ориентацию каждого контура L, входящего в состав границы поверхности Σ, (согласованную с ориентацией поверхности Σ) по следующему правилу. Направление обхода контура L считается положительным (согласованным с ориентацией Σ), если наблюдатель, расположен на поверхности так, что направление вектора нормали совпадает с направлением от ног к голове, обходит контур L, оставляя поверхность Σ все время слева от себя. Противоположное направление считается отрицательным.

3. Правило согласования ориентации поверхности Σ и ограничивающего ее контура L можно сформулировать таким образом: пусть - единичный вектор нормали к поверхности Σ в некоторой точке М, принадлежащей L, и пусть - вектор, нормальный к L и к и направленный в ту сторону, с которой расположена поверхность Σ. Тогда положительное направление обхода контура L указывается вектором [ , ]

Рис. 36.3 Рис. 36.4

Применение поверхностного интеграла второго рода

Пусть пространство заполнено движущейся жидкостью, скорость которой в точке (х, у, z) задается вектором (х, у, z) c компонентами Р = Р(х, у, z),Q = Q(x, у, z), R = R(x, у, z).

Вычислим количество жидкости П, протекающей за единицу времени через некоторую ориентированную поверхность Σ.

Рассмотрим бесконечно малый элемент dσ поверхности Σ. Количество жидкости, протекающее через dσ за единицу времени, равно dП = V_n, где V_n – проекция скорости на направление нормали к dσ. Записав dП как скалярное произведение вектора V на единичный вектор нормали п к элементу dσ, имеем dП =[Р cos ( , х)+ Q cos ( , у) + R cos ( , z)] dσ.

Рис. 36.5

Чтобы получить количество жидкости, протекающее через всю поверхность Σ, нужно просуммировать предыдущее выражение по всем элементам dσ, т. е. взять интеграл

П = [Pcos( , x) + Qcos( ,y) + Rcos( , z)] dσ. (36.6)

Перейдем теперь к общему определению. Пусть Σ – гладкая двусторонняя поверхность. Фиксируем какую-либо определенную сторону поверхности (поле нормалей (М)) и рассмотрим векторную функцию =(Р, Q, R), заданную на Σ. Обозначим А_n проекцию вектора на направление нормали к Σ в данной точке

А_n = P cos ( , х) + Q cos ( , y)+ R cos ( , z),

где cos( , x), cos( , у) и cos( , z) – косинусы углов между направлением нормали к поверхности и направлениями координатных осей, т. е. координаты единичного вектора нормали n. Интеграл

[P cos( , x) + Q cos( , y)+ R cos( , z)] dσ (36.7)

называется поверхностным интегралом второго рода от вектор – функции =(P, Q, R) по поверхности Σ (по выбранной стороне поверхности Σ) и будем обозначать

P dydz + Q dzdx + R dxdy.

При переходе к другой стороне поверхности координаты единичного вектора нормали, следовательно и сам интеграл, меняют свой знак на противоположный. Для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится. В соответствии с этим поверхностный интеграл второго рода от векторной функции = (Р, Q, R) записывают в виде

( , )= ( , )dσ. (36.8)

Наряду с интегралами вида (4.5) в некоторых задачах приходится рассматривать интегралы вида

[ , ]dσ . (36.9)

Значение такого интеграла представляет собой уже не скаляр, а вектор. Его вычисление сводится к покомпонентному интегрированию вектора [ , ]. Так как здесь подынтегральное выражение зависит от нормали к поверхности Σ, то интеграл (36.9) будет поверхностным интегралом второго рода (но только «векторный», в отличие от «скалярного» интеграла).

Сведение поверхностного интеграла второго

рода к двойному интегралу

Из определения поверхностного интеграла второго рода вытекает следующий результат Пусть гладкая (или кусочно-гладкая) поверхность Σ задана уравнением z = z(x, у) (причем берется верхняя сторона этой поверхности) и R (х, у, z) – некоторая ограниченная функция на поверхности Σ . Тогда

R (х, у, z) dxdy = R (х, у, z (х, у)) dxdy, (36.10)

где D – проекция поверхности Σ на плоскость х0у; входящий в это равенство поверхностный интеграл существует, если существует стоящий справа двойной интеграл. Таким образом, для того, чтобы поверхностный интеграл R(x,у,z) dσ, взятый по верхней стороне поверхности Σ (ее уравнение z = z(x, y)) преобразовать в двойной, следует в подынтегральную функцию вместо z подставить функцию z(x, у), а интегрирование по поверхности Σ заменить интегрированием по ее проекции D на плоскость х0у. Если же интеграл берется по нижней стороне поверхности Σ, то

R(x, у, z) dxdy = - R(x, у, z(x, y))dxdy.