- •Введение
- •Определители, матрицы. Системы линейных уравнений
- •2. Линейные пространства.
- •Решение систем линейных уравнений
- •3. Подпространства, образованные решениями линейной однородной системы (лос) уравнений. Нахождение общего решения лос
- •4. Линейные преобразования и действия Над ними
- •5. Собственные значения и собственые векторы матрицы
- •6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •7. Векторы и действия над ними
- •8. Плоскость и прямая в пространстве
- •9. Кривые второго порядка на плоскости
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •11. Исследование общего уравнения кривой. Поверхности второго порядка.
- •12. Комплексные числа. Теорема
- •И ее предел.
- •13. Функция. Предел функции
- •14. Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов
- •15. Производная функции и ее вычисление
- •16. Дифференциал функции. Применение дифференциала
- •17. Неопределенный интеграл
- •18. Определенный интеграл
- •19. Несобственные интегралы
- •20. Приложения определённого интеграла
- •2) Вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям
- •21. Функции нескольких переменных Основные теоретические сведения
- •22. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •23. Производные и дифференциалы высших порядков
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •2) Случай нескольких независимых переменных.
- •24. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •25. Экстремум функции нескольких независимых переменных
- •26. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •27. Дифференциальные уравнения
- •28. Система линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •29. ЧиСлоВые ряды
- •30. Функциональные ряды
- •31. Тригонометрические ряды Фурье
- •32. Интеграл Фурье
- •33. Двойной интеграл
- •34. Тройные интегралы
- •35. Криволинейные интегралы
- •36. Поверхностные интегралы
- •Поверхностные интегралы второго рода
- •Так же получены формулы:
- •37. Теория поля
- •Скалярные поля
- •Формула Остроградского на плоскости
- •Циркуляция вектора вдоль контура не зависит от выбора координатной системы.
- •38. Оператор Гамильтона
- •Дифференциальные операции второго порядка
- •39. Функция комплексного переменного
- •40. Дифференцирование функций комплексного переменного, условия коши — римана
- •41. Интегрирование функций комплексного переменного
- •42. Ряд лорана
- •43. Преобразование Лапласа
- •44. Задача коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
- •Заключение
- •Библиографический список
- •35. Криволинейные интегралы ……………………………….302
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
42. Ряд лорана
Функция , однозначная н аналитическая в кольце разлагается в этом кольце в ряд Лорана
(42.1)
коэффициенты находятся по формулам
(42.2)
Здесь Г—произвольная окружность с центром в точке , лежащая внутри заданного кольца. Разложение в ряд Лорана единственно. В формуле (42.1) ряды
называются соответственно гласной частью ряда Лорана и
правильной частью ряда Лорана. На практике для нахождения коэффициентов , если это возможно, используют готовые разложения элементарных функций в ряд Тейлора. Для примера разложим в ряд Лорана с центром в точке функцию Функция аналитична в кольце 0 < | z | < ∞, следовательно, разложима в нем в ряд Лорана. Воспользуемся разложением показательной функции в ряд Тейлора в окрестности точки и положим тогда
В силу единственности ряда Лорана полученное разложение функции f(z) по степеням z является рядом Лорана для функции в кольце 0 < | z | < ∞.
Пример 1 . Найти все Лорановские разложения данной функции по степеням z.
Решение:
Представим один из множителей, как сумму двух простых слагаемых:
.Отсюда f(z) примет вид: f(z)= . Особые точки: z = 0; z = -6; z = 12
Рис. 42.1
Рассмотрим область
=
Рассмотрим область
=
Рассмотрим область =
Изолированные особые точки однозначной
аналитической функции
Точка называется изолированной особой точкой функции , если f (z)- однозначная и аналитическая функция в круговом кольце кроме самой точки . Функцию в окрестности точки можно разложить в ряд Лорана(6), сходящийся в кольце .
При этом возможны три различных случая, когда ряд Лорана:
не содержит членов с отрицательными степенями
разности В этом случае называется устранимой особой точкой функции ;
содержит конечное число членов с отрицательными степенями разности
.
В этом случае называется полюсом порядка n функции ;
3) содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями разности
.
В этом случае называется существенно особой точкой функции . При определении характера изолированной особой точки используются следующие утверждения.
1. Для того чтобы точка являлась устранимой особой
точкой аналитической функции , необходимо и достаточно существование предела
Для того чтобы точка являлась полюсом аналитической
функции , необходимо и достаточно существование
предела
2. Для того чтобы точка являлась полюсом порядка п аналитической функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы функцию f(z) можно было представить в виде —функция аналитическая в точке , причем . .Пусть —изолированная особая точка функции —функции аналитические в точке . Если числитель и все производные до к—1 порядка включительно в точке равны нулю, знаменатель и все производные до l-1 порядка включительно также равны нулю в точке , то при l>k точка является полюсом порядка n=l—k аналитической функции f(z). (Если то точка является устранимой особой точкой аналитической функции f(z).) В частном случае, при k=0, l = 1 имеем: если — полюс первого порядка функции f(z).
3. Пусть при аналитическая функция не имеет пределов ни конечного, ни бесконечного. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы точка была существенно особой точкой функции .
Пример 2 . Для данной функции найти изолированные особые точки и определить их тип.
f (z) = .
Решение: Изолированными особыми точками являются z = i,
z = -i, z = ½, z = - ½. Запишем данную функцию в виде отношения g (z) и h (z): f (z) = ;g (z) = cos πz;
h (z) = (4z 2 -1)(z 2 + 1). Для каждой из функций найдём порядок производной, не обращающейся в ноль при z = i, z = -i, z = ½, z = - ½: g (1/2) = 0, g (-1/2) = 0, g (i) ≠ 0, g (-i) ≠ 0;
g׳(z) = - π sin πz, g ׳ (1/2) ≠ 0, g ׳ (-1/2) ≠ 0; h (1/2) = 0,
h (-1/2) = 0, h (i) = 0, h (-i) = 0; h ׳ (z) = 16z 3 + 6z;
h ׳ (1/2) ≠ 0, h ׳ (-1/2) ≠ 0, h ׳ (i) ≠ 0, h ׳ (-i) ≠ 0.
При z = ½ и z = - ½ порядок ненулевой производной для функции, стоящей в знаменателе, равен порядку ненулевой
производной для функции, стоящей в числителе. Таким образом, можно сделать вывод, что z = ½ и z = - ½ являются
устранимыми особыми точками. Так как порядок производной, не обращающейся в ноль при z = i и z = -i выше для функции, находящейся в знаменателе, то точки z = i и z = -i являются полюсами функции. Порядок этих полюсов находится, как разница между порядками производных, не обращающихся в ноль. В данном случае, это 1 – 0 = 1. Точки z = ½ и z = - ½ являются устранимыми особыми точками. Точки z = i и z = -i являются полюсами 1-го порядка.
Вычеты
Пусть — изолированная особая точка функции . Вычетом функции f (z) в точке называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством
(42.3)
(другие обозначения: ). Замкнутый контур интегрирования γ лежит в области аналитичности функции f (z) и не содержит внутри других особых точек функции f (z), кроме . Сопоставление формул (42.1) и (42.3) показывает, что вычет функции равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении f (z) в окрестности точки :
. (42.4)
Вычет в устранимой особой точке равен нулю. Вычет функции f (z) в полюсе n-гo порядка вычисляется по формуле
при n=1
Если функция в окрестности точки представляется как частное двух аналитических функций, причем (в этом случае — полюс первого порядка функции f (z)), то
Если точка есть существенно особая точка функции
, то вычет вычисляется по формуле (42.4).
Основная теорема Коши о вычетах.
Если функция является аналитической на границе Г области G и всюду внутри области, за исключением конечного числа особых точек , то
(42.5)
Пример 3. Вычислить интеграл:
Решение: Найдем особые точки функции f(z):
В рассматриваемую область попадают точки Точка является простым нулем.
Найдем вычет в этой точке:
Точка является простым полюсом. Найдем вычет в этой точке:
Точка является простым полюсом. Найдем
вычет в этой точке:
Отсюда следующий результат:
Вычисление несобственных интегралов от
рациональных функций
Пусть R (x) — рациональная функция, где и - многочлены степеней
k и l соответственно. Если R (х) непрерывна на всей действительной оси и , т.е. степень знаменателя, по крайней мере, на две единицы больше степени числителя, то
здесь сумма вычетов функции берется по всем полюсам , расположенным в верхней полуплоскости Im z>0.
Вычисление несобственных интегралов специального вида
Пусть R (x) — рациональная функция, где и - многочлены степеней k и l соответственно. Если R (х) непрерывна на всей действительной оси и (т. е. R(x) – правильная рациональная дробь), то
где сумма вычетов функции берется по всем полюсам , расположенным в верхней полуплоскости Im z>0.
Пример 4 . Вычислить интеграл:
Решение: Известно, что если функция рациональная, а ее числитель и знаменатель представляют собой многочлены, причем степень знаменателя, по крайней мере, на две единицы больше степени числителя, то можно применить следующую формулу:
. Сумма вычетов берется по всем полюсам полуплоскости
Преобразуем исходный материал:
Особые точки:
Точки и являются простыми полюсами и вычеты в них вычисляются следующим образом:
и
используем приведенную в начале задачи формулу:
.
Пример 5. Вычислить интеграл:
Решение: Для вычисления интегралов такого вида применяется специальная формула:
Исходная функция полностью удовлетворяет условиям
применения данной формулы. Найдем :
Сумма вычетов берется по верхней полуплоскости . Из этого следует:
Эта особая точка является полюсом второго порядка. Найдем в ней вычет для каждой из функций:
Используем записанную ранее формулу и найдем интеграл:
Вычисление определенных интегралов
специального вида
Пусть R —рациональная функция cos t и sin t, непрерывная внутри промежутка интегрирования. Полагаем , тогда
имеем
(42.6)
где путь интегрирования—окружность единичного радиуса с
центром в начале координат. Контурный интеграл в правой
части равенства (42.6) вычисляется по формуле (42.5), где сумма вычетов функции F(z) берется по всем особым точкам, лежащим в области | z|< 1.
Пример 6 . Вычислить интеграл:
Решение: Интеграл такого вида может быть преобразован в контурный, используя следующие выражения:
Воспользуемся этими данными и получим:
=
Подынтегральная функция имеет две особые точки:
Точка не попадает в область,
ограниченную контуром интегрирования. Точка
является простыми полюсом. Вычислим в этой точке вычет:
. По основной теореме Коши о вычетах: