27. Дифференциальные уравнения

Основные понятия

Дифференциальным уравнением называют уравнение типа

, (27.1)

где х - независимая переменная, -искомая функция, -ее производные. Решением дифференциального уравнения (27.1) называется такая функция , которая при подстановке ее и ее производных обращает равенство в (27.1) в тождество. Порядком дифференциального уравнения (27.1) называется наибольший порядок n входящей в него производной. Интегрированием дифференциального уравнение называется процесс нахождения его решения. Общим решением дифференциального уравнения (27.1) порядка n называется такое решение , которые являются функцией от независимой переменной х и от n произвольных независимых постоянных _. Частным решением называется решение, полученное из общего решения при конкретных значениях постоянных . Привести дифференциальное уравнение к квадратурам означает преобразовать это уравнение до вычисления интегралов (уравнение вычисляется в квадратурах).

Дифференциальное уравнение первого порядка

Разрешением относительно производной называется

дифференциальное уравнение первого порядка

которое можно записать в виде

. (27.2)

Уравнение с разделяющимися переменными.

Решение уравнений вида (27.2) сводится к нахождению

неопределенных интегралов, если функция двух переменных представима в виде произведения двух функций одной переменной .

Заменяя на , из (27.2) получаем

(27.3)

Уравнением с разделяющимися переменными называются уравнения вида (27.3). По-другому такие уравнения можно записать в виде

(27.4)

или

.

Интегрируя обе части последнего неравенства, получаем

.

Общим интегралом дифференциального уравнения называется его решение, которое находится в виде или .

Однородные уравнения и уравнения,

приводящие к однородным

Однородной функцией порядка называется функция , удовлетворяющая условию . Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение , где -однородная функция нулевого порядка. Заменой

(27.5)

Оно становится к уравнению с разделяющимися переменными. К однородным сводятся уравнения вида

(27.6)

С помощью замены

. (27.7)

Пример 1. Найти общий интеграл

,

Решение.

,

, , .

, , , , . .

, , , .

Делаем замену , , , ,

и , ,

, и т.е.

, ,

. Ответ:

Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение

. (27.8)

Для интегрирования этого уравнения сделаем замену

. (27.9)

Таким образом вместо одной независимой функции вводятся две. При этом появляется возможность выбрать одну из функций или исходя из соображений удобства. Подставим y и y’ в дифференциальное уравнение. Получим , или

.

Положим , тогда получим уравнение с

разделяющимися переменными .

Проинтегрировав это уравнение, найдем функцию . Подставив ее в уравнение, получим дифференциальное уравнение относительно функции , после интегрирования которого найдем искомую функцию .

Пример 2. Решить задачу Коши:

,

Решение.

= >

=>

_Ответ:

Уравнение в полных дифференциалах.

Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение

, (27.10)

где левая часть представляет собой полный дифференциал

некоторой функции , т. е.

,

или

.

Из первого из этих уравнений находим

.

Можно доказать, что если выполнено условие

, (27.11)

то Pdx+Qdy=0 уравнение в полных дифференциалах.

Пример 3. Найти общий интеграл:

Решение.

,

данное уравнение в полных дифференциалах

.

,

, ,

Ответ:

Линейные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого

порядка называется уравнение вида

. (27.12)

Уравнение (27.12) называется однородным, еслиq(x)=0.

Решение уравнения (27.12) ищутся в виде произведения

двух неизвестных функций . Так как

, то из (12) следует, что

или

(27. 13)

Выберем функцию

_{такой, чтобы выполнялось равенство}

. (27.14)

Это возможно сделать, решая уравнение (27.14) с разделяющимися переменными. После выбора функции _{уравнение (27.13) примет вид} . Это уравнения является также решением уравнением с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим функцию .

_{Тогда функция будет решением уравнения (27.12). Таким образом, интегрирование линейного дифференциального уравнения первого порядка сводится к интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными.}

_{Дифференциальные уравнения высших порядков}

_{Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида .}

_{Разрешенным относительно старшей производной}

_{называется уравнение .}

_{Условиями Коши или начальными условиями для}

_{уравнения n-го порядка называются соотношения}

, (27.15)

где х_0, у₀, у’₀,…,y₀^(n-1)-заданные числа. Задача нахождение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условием, называется задачей Коши. Некоторые уравнения высших порядков допускают понижение порядка. Для примера рассмотрим дифференциальные уравнения второго порядка:

1. 

_{б) .}

_{В случае а замена , приводит к уравнению}

_{первого порядка ; в случае б) замена}

, .

Также имеем уравнение первого порядка .

Пример 4. Найти решение задачи Коши.

, , .

Решение.

, , .

, .

, . Пусть .

,

, , .

,

,

.

, , .

Ответ:

Линейные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением второго

порядка с постоянными коэффициентам называется

уравнение вида

, (27.16)

где p, q- некоторые числа; r(x)-функция от х.

Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами

называется уравнение (27.16), в котором правая часть

r(х) равна нулю:

. (27.17)

Общее решение уравнения (27.16) равно сумме какого

либо частного решения этого уравнения и общего

решения соответствующего однородного уравнения (27.17). Опишем сначала способ нахождения общего решения однородного уравнения (27.17).

Характеристическим уравнением для однородного

Уравнения (27.17) называется квадратное уравнение

(27.18)

Относительно неизвестной . В соответствии со знаком дискриминанта D=p²-4q возможны три случая:

1. D>0: характеристическое уравнение имеет два

различных корня и ;

2. D=0: характеристическое уравнение имеет один

корень ;

3. D<0: действительных корней характеристическое

Уравнение не имеет. В этом случае находятся числа

.

Найдем решение уравнения (27.17) для всех этих случает.

1. Если характеристическое уравнение (27.18) имеет

два различных корня , то общее решение уравнения (27.17) имеет вид

, (27.19)

где С₁, С_2—произвольные постоянные.

2. Если характеристическое уравнение (27.18) имеет единственный корень , то общее решение уравнения (27.17) имеет вид

(27.20)

где С₁, С_2—произвольные постоянные.

3. характеристическое уравнение (27.18) не имеет корней,

то общее решение уравнения (27.17) имеет вид

, (27.21)

где С₁, С_2—произвольные постоянные. . Способы нахождения частных решений неоднородного уравнения (27.16) зависят от вида правой части и в явном виде находятся только для функций f(x) специального вида. Пусть f(x) имеет вид

, (27.22)

где - некоторые числа, причем не равно нулю, Q(x), P(x)-многочлены от х. В этом случае частное решение уравнения (27.16) ищется в виде

_, (27.23)

где U(x),V(x)-многочлены, степени которых равны наибольшей из степеней многочленов P(x) и Q(x). При этом показатель s выбирается по следующему правилу:

1. z=0, если

; (27.24)

2. z=1

(27.25)

Многочлены U(x) и V(x) указанной степени в формуле (27.23) записываются в общем виде с произвольными коэффициентами. Затем находится производные y’ и y’’ функции (27.23). После подстановки y, y’ и y’’ в уравнение (27.16) получается линейная система уравнений для определения коэффициентов многочленов U(x) и V(x). Пусть правая часть уравнения (27.16) имеет вид

, (27.26)

где -некоторое число, Р(х)- многочлен от х (этот случай получается из (27.22) при =0).Частное решение уравнения (27.16) ищется в виде

, (27.27)

где U(x)-многочлен с неопределенными коэффициентами,

степень которого равна степени многочлена Р(х). При этом

показатель z выбирается по следующему правилу:

1. Z=0, если

(27.28)

2. Z=1

(27.29)

3. Z=2

(27.30)

Пример 5 . Найти общее решение уравнения:

Решение.

Найдем общее решение однородного уравнения

Составим и решим характеристическое уравнение

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

Общее решение данного уравнения

Ответ:

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

с постоянными коэффициентами решаются также, как и уравнения 2-го, но с учетом порядка уравнения (см. пример 6)

Пример 6 . Найти общее решение уравнения:

Решение.

, - характеристическое ур-е,

, , - общее решение однородного уравнения

, , ,

,

,

,

, ,

Ответ:

Линейные дифференциальные уравнения второго

порядка с переменными коэффициентами.

Уравнение

(27.31)

Представляет собой общий вид дифференциального уравнения второго порядка с правой частью f(x). Здесь -некоторые непрерывные функции.

Уравнение (27.31) называется однородным, если f(x)=0.

Задачей Коши называется задача решения уравнения (27.31) при заданных начальных условиях . Линейными независимыми решениями однородного уравнения

называется решение , , для которого

определитель Вронского (вронскиан)

, (27.32)

И линейно зависимыми, если для некоторых х. Известно, что всякое линейное уравнение однородное уравнение

, (27.33)

где и - непрерывные функции, имеет два линейно

независимых решения. Фундаментальной системой решений называется система двух линейно независимых функций и , являющихся решениями однородного уравнения (27.33). Для решений уравнений вида (27.31) применяется метод вариации произвольных постоянных, который заключатся в том, что общее решения уравнения (27.31) ищется в виде

, (27.34)

где и -функции, которые определяются из

системы уравнений

. (27.35)

Из системы (27.35) находится

, (27.36)

Тогда

(27.37)