6.3. Задания для самостоятельного решения
Задание № 1. В среднем за минуту магазин посещает п посетителей. Найти вероятности того, что за две минуты магазин посетят на менее k посетителей и вероятность того, что в течение как минимум T минут в магазине не будет ни одного посетителя, если поток посетителей считать пуассоновским (n, k, T представлены в табл. 6.3.1).
Таблица 6.3.1
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
n |
2 |
3 |
4 |
5 |
4 |
3 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
4 |
T |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
3 |
2 |
1 |
Вариант |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
n |
4 |
5 |
4 |
3 |
2 |
3 |
4 |
2 |
5 |
3 |
k |
3 |
6 |
5 |
4 |
5 |
6 |
5 |
7 |
5 |
6 |
T |
4 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
4 |
2 |
3 |
2 |
Вариант |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
n |
2 |
3 |
5 |
4 |
6 |
3 |
4 |
3 |
5 |
2 |
k |
3 |
4 |
6 |
6 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
4 |
T |
3 |
4 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
4 |
3 |
2 |
Задание № 2. Марковский случайный процесс представлен графом состояний (рис. 6.3.1).
Рис. 6.3.1
Найти вероятности каждого состояния в стационарном режиме. Интенсивности пуассоновских потоков событий (a, b, c, d), переводящих систему из одного состояния в другое, взять из табл. 6.3.2 в зависимости от варианта.
Таблица 6.3.2
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
a |
5 |
5 |
6 |
3 |
4 |
1 |
5 |
3 |
8 |
5 |
7 |
5 |
3 |
2 |
8 |
b |
4 |
9 |
1 |
6 |
2 |
1 |
3 |
2 |
7 |
3 |
2 |
8 |
2 |
6 |
7 |
c |
3 |
4 |
8 |
7 |
5 |
1 |
5 |
7 |
6 |
6 |
8 |
3 |
8 |
4 |
9 |
d |
6 |
6 |
7 |
3 |
3 |
8 |
7 |
6 |
8 |
7 |
2 |
6 |
6 |
6 |
2 |
Вариант |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
a |
4 |
3 |
7 |
4 |
7 |
8 |
9 |
6 |
6 |
8 |
2 |
3 |
4 |
3 |
7 |
b |
1 |
2 |
1 |
3 |
9 |
7 |
8 |
3 |
2 |
6 |
6 |
9 |
1 |
2 |
1 |
c |
5 |
2 |
5 |
7 |
7 |
2 |
8 |
1 |
4 |
3 |
8 |
2 |
5 |
2 |
5 |
d |
3 |
8 |
3 |
9 |
8 |
3 |
3 |
3 |
1 |
9 |
4 |
5 |
3 |
8 |
3 |
Задание № 3. Автозаправка имеет три заправочных колонки. Среднее время заправки автомобиля — t минут. Среднее число автомобилей, желающих заправиться — N в час. Если заправочные места заняты, автомобиль подъезжает к следующей заправке. Определить среднее число обслуженных автомобилей за час (t, N представлены в табл. 6.3.3).
Таблица 6.3.3
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
t |
4 |
5 |
6 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
4 |
N |
10 |
15 |
20 |
15 |
10 |
25 |
30 |
20 |
30 |
15 |
Вариант |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
t |
5 |
4 |
6 |
3 |
7 |
2 |
4 |
3 |
5 |
6 |
N |
20 |
30 |
40 |
30 |
15 |
20 |
10 |
20 |
30 |
25 |
Вариант |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
t |
4 |
3 |
5 |
4 |
6 |
5 |
3 |
4 |
5 |
6 |
N |
60 |
60 |
30 |
45 |
20 |
30 |
40 |
15 |
20 |
30 |
Задание № 4. Найти финальные вероятности состояний для процесса гибели и размножения с непрерывным временем, если число его состояний n(начиная с S0, заканчивая Sn-1), интенсивности потоков гибели и размножения постоянны и равны соответственно и (см. табл 6.3.4).
Таблица 6.3.4
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
n |
7 |
8 |
9 |
6 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
8 |
7 |
6 |
7 |
4 |
|
6 |
5 |
3 |
4 |
7 |
8 |
9 |
5 |
4 |
3 |
6 |
5 |
4 |
3 |
6 |
|
5 |
3 |
4 |
7 |
8 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
4 |
6 |
5 |
5 |
7 |
Вариант |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
n |
7 |
8 |
9 |
5 |
9 |
6 |
4 |
7 |
5 |
6 |
8 |
7 |
6 |
7 |
6 |
|
6 |
3 |
4 |
7 |
6 |
7 |
8 |
9 |
3 |
4 |
2 |
5 |
8 |
5 |
9 |
|
7 |
5 |
7 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
5 |
8 |
5 |
6 |
7 |
Задание № 5. В автохозяйстве имеются четыре автомобиля. Каждый автомобиль в среднем выходит из строя N раз в три месяца. Среднее время починки автомобиля — K дней (N, К даны в табл. 6.3.5). Прибыль автохозяйства пропорциональна числу эксплуатируемых автомобилей и составляет 15 тыс. р. в месяц на 1 автомобиль. Починка 1 автомобиля обходится в 10 тыс. р. в месяц. Найти среднемесячный доход автохозяйства.
Таблица 6.3.5
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
N |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
3 |
2 |
1 |
1 |
2 |
K |
10 |
15 |
20 |
15 |
10 |
30 |
10 |
20 |
15 |
20 |
Вариант |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
N |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
K |
20 |
30 |
10 |
30 |
15 |
20 |
10 |
20 |
30 |
15 |
Вариант |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
N |
4 |
3 |
2 |
1 |
4 |
3 |
2 |
1 |
3 |
2 |
K |
20 |
10 |
30 |
15 |
20 |
30 |
10 |
15 |
20 |
30 |
Задание № 6. В киоске одно торговое место. Средний поток покупателей — человек в час. Среднее время обслуживания покупателя — Т минут (, Т даны в табл. 6.3.6). Если очередной подошедший покупатель обнаруживает, что кто-то уже обслуживается, то он переходит к соседнему киоску. Время работы киоска – 12 часов в день. Каждый покупатель в среднем приносит прибыль киоску 10 р. Определить среднюю ежедневную прибыль киоска. На сколько возрастет прибыль, если в киоске открыть второе торговое место?
Таблица 6.3.6
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
50 |
40 |
30 |
20 |
60 |
10 |
20 |
30 |
40 |
60 |
Т |
2 |
3 |
2 |
5 |
2 |
10 |
10 |
5 |
4 |
3 |
Вариант |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
50 |
90 |
30 |
40 |
50 |
45 |
30 |
20 |
40 |
35 |
Т |
5 |
1 |
4 |
3 |
2 |
1 |
4 |
5 |
4 |
5 |
Вариант |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
50 |
60 |
30 |
40 |
45 |
50 |
20 |
10 |
30 |
40 |
Т |
2 |
3 |
4 |
5 |
4 |
3 |
8 |
15 |
3 |
5 |