3.4. Обратная матрица.

Определение. Квадратная матрица A называется вырожденной (невырожденной), если .

Определение. Матрица называется правой (левой) обратной матрице , если AB=I (CA=I).

Теорема. Если для матрицы существуют левая обратная матрица C и правая обратная матрица B, то C=B.

Доказательство.

C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B, ч.т.д.

Определение. Матрица A^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если при умножении матрицы A^-1 на данную матрицу A как справа, так и слева, получается единичная матрица: A^-1A=AA^-1=I.

Понятие о необходимом и достаточном условиях.

Любую теорему можно записать в виде: где A – условие теоремы, а B – её заключение. Высказывание B называется необходимым условием для A, а высказывание A – достаточным условием для B.

Если высказывания A и B таковы, что и (каждое следует из другого), то говорят, что каждое из этих условий является необходимым и достаточным условием другого и пишут

Необходимое и достаточное условие существования и единственности обратной матрицы.

Теорема. Обратная матрица A^-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица является невырожденной.

Пример. Вычислить для матрицы A матрицу A^-1, пользуясь определением обратной матрицы.

Решение. detA=18-20=-2 Пусть Тогда, по определению обратной матрицы, AA^-1=I.

Следовательно,

Получили, что . Проверим выполнение условия A^-1A=I:

Итак, A^-1A=AA^-1=I .

Свойства обратной матрицы.

Если , то:

1. (A^-1)^-1=A;

2. (A^-1)^T=(A^T)^-1;

3. (AB)^-1=B^-1A^-1;

4. 

5. 

6. 

Вычисление обратной матрицы (через алгебраические дополнения).

Пусть Тогда , где матрица С имеет вид:

Матрица С называется союзной или присоединённой по отношению к матрице А. Элемент c_ij матрицы С равен алгебраическому дополнению элемента a_ji исходной матрицы А,

Пример. Найти матрицу, обратную к матрице:

Решение. . Значит, . Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы:

A₁₁=(-1)¹⁺¹3=3; A₁₂=(-1)¹⁺²4=-4;

A₂₁=(-1)²⁺¹1=-1; A₂₂=(-1)²⁺²2=2.

Решение матричных уравнений.

Матричным уравнением называется уравнение, в котором роль неизвестной играет некоторая матрица X. Простейшими примерами таких уравнений могут служить уравнения AX=C, XB=C, AXB=C, где X и C – прямоугольные матрицы равных размеров, A и B – квадратные матрицы соответствующих размеров. Если предположить, что и , то эти уравнения имеют единственные решения.

AX=C A-1AX=A-1C IX=A-1C X= A-1C

XB=C XBB-1=CB-1 XI=CB-1 X=CB-1

AXB=C A-1AXBB-1=A-1CB-1 IXI=A-1CB-1 XI=A-1CB-1 X=A-1CB-1

3.5. Линейная зависимость строк и столбцов матрицы.

Определение. Количество элементов вектор-строки (столбца) называется длиной (высотой) вектор-строки (столбца).

Определение. Столбец (строка) q называется линейной комбинацией столбцов (строк) p₁, p₂, , p_m одинаковой высоты (длины), если при некоторых числах ₁, ₂, , _m

Теорема. Если столбец (строка) a есть линейная комбинация столбцов (строк) a₁, a₂, , a_s, то он (она) является также линейной комбинацией любой системы столбцов (строк), содержащей a₁, a₂, , a_s.

10 и 11 свойства определителя n-го порядка.

10. Если в определителе строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то он равен нулю.

11. Значение определителя не изменится, если к любой его строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию других строк (столбцов).

Определение. Столбцы (строки) матрицы p₁, p₂, , p_m называются линейно зависимыми, если существуют числа ₁, ₂, , _m, не равные одновременно нулю, т.е. такие, что линейная комбинация столбцов (строк) матрицы равна нулевому столбцу (строке): Если линейная комбинация столбцов (строк) равна нулевому столбцу (строке) тогда и только тогда, когда то столбцы (строки) p₁, p₂, , p_m называются линейно независимыми.

Теорема. Для того, чтобы система из s>1 столбцов (строк) была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них был линейной комбинацией остальных.