3. Действия над матрицами.

3.1. Линейные операции над матрицами.

Произведением матрицы A_m×n на число λ называется матрица B_m×n=λA, элементы которой b_ij=λa_ij,

Пример.

Матрица λI называется скалярной матрицей.

Суммой двух матриц A и B одинакового размера m×n называется матрица C_m×n=A+B, элементы которой c_ij=a_ij+b_ij,

Пример.

Разность двух матриц одинакового размера m×n определяется через предыдущие операции: A-B= A+(-1)B.

Пример.

Свойства операций сложения матриц и произведения матрицы на число.

Пусть A, B и C – матрицы, имеющие одинаковые размеры, Тогда:

1. A+B=B+A;

2. (A+B)+С=A+(B+С);

3. (A+B)=A+B;

4. (+)A=A+A;

5. ()A=(A)=(A);

6. A+=A;

7. det(A)=ⁿdetA, A – матрица размера n×n,

Свойства операции транспонирования матриц.

1. (A^Т)^Т=A;

2. (A+B)^Т=A^Т+B^Т;

3. (A)^Т=A^Т,

3.2. Умножение матриц.

Умножение матрицы A на матрицу B определено, когда число столбцов матрицы A равно числу строк B (условие сцепления). В этом случае матрица A называется согласованной с матрицей B.

Произведением матриц A размера m×n и B размера n×k называется матрица C, элементы которой c_ij равны скалярным произведениям векторов-строк матрицы A на векторы-столбцы матрицы B:

Матрица C имеет размер m×k.

Пример.

A_3×3B_3×2=C_3×2=

Свойства произведения матриц.

1. Произведение вектора-строки на матрицу есть вектор-строка где

Пример.

2. Произведение матрицы на вектор-столбец есть вектор-столбец где

Пример.

3. Произведение вектора-столбца на вектор-строку есть матрица

Пример. Вычислим произведение

4. Произведение вектора- строки на вектор-столбец есть число (или матрица размера 1×1)

Пример.

5. Пусть A, B, θ, I, C – матрицы соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены). Тогда:

а) (AB)C=A(BC); д) AI=A;

б) (A+B)C=AB+BC; е) IA=A;

в) A(B+C)=AB+AC; ж) θA=θ;

г) α(AB)= (αA)B; з) Aθ=θ.

6. Произведение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. . Для квадратных матриц A и B одного порядка матрица [A,B]= AB -BA называется коммутатором матриц A и B.

7. Существуют делители нулевой матрицы, т.е. из AB=θ и и из AB=θ и

8. В общем случае из того, что AB=AC и

9. Транспонирование произведения. Пусть Тогда (AB)^Т= B^ТA^Т; - условие сцепления выполняется только для B^ТA^Т.

10. Определитель произведения квадратных матриц одного порядка

Возведение матриц в натуральную степень.

Натуральной степенью квадратной матрицы A называется произведение n матриц, равных A, то есть

Свойства операции возведения в натуральную степень.

1. 2.

Матрица A называется нильпотентной, если для некоторого Наименьшее из чисел m, для которых имеет место это равенство, называется индексом нильпотентности.

Матрица A называется идемпотентной, если A²=A. Матрица A называется инволютивной, если A²=I.

3.3. Многочлены от матриц.

Пусть даны квадратная матрица и многочлен f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-₁x+a_n,

Значением многочлена f(x) при x=A или многочленом f(A) от матрицы A называется матрица

f(A)= a₀Aⁿ+a₁A^n-1+…+a_n-1A+a_nI,

где I – единичная матрица порядка m. Порядок матрицы f(A) совпадает с порядком матрицы A.

Если f(A)=θ, то многочлен f(x) называется аннулирующим многочленом матрицы A, а сама матрица A – корнем многочлена f(x).

Пример.

A – корень f(x), f(x) – аннулирующий многочлен для матрицы A.