Линейное пространство.
Определение.
Множество
называется линейным векторным
пространством, если:
1.
В
введены операция сложения элементов
т.е.
элемент
со свойствами:
а)
;
б)
;
в)
(элемент
называется нулевым);
г)
:
(элемент
называется противоположным элементу
).
2.
В
введена операция умножения элементов
на действительные числа, т.е.
со свойствами:
а)
;
б)
,
.
3. Операции сложения элементов и умножения на числа удовлетворяют законам:
а)
;
б)
.
Элементы линейного пространства называются векторами.
Формула преобразования координат при преобразовании базиса.
Пусть
и
- 2 различных базиса в линейном пространстве
.
Каждый из векторов базиса
разложим по базису
:
,
.
Матрица
перехода
от базиса
к базису
называется матрица
,
-ый
столбец которой есть вектор-столбец
=
,
координат вектора
в базисе
.
Если
- произвольный вектор из
,
и
- столбцы его координат в базисе
и
соответственно, то имеет место равенство:
.
Пример.
Найти координаты вектора
в базисе
,
если он задан в базисе
.
Решение. Выпишем матрицу перехода от старого базису к новому базису
(коэффициенты
разложения векторов в новом базисе
расположены в столбцах матрицы
).
Так как определитель
матрицы отличен от нуля
,
вычислим алгебраические дополнения
элементов матрицы
:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Матрица
,
обратная к
,
имеет вид:
.
Тогда
.
Таким
образом, координаты вектора
в базисе
:
.
Линейный оператор.
Определение.
Линейным
оператором
в линейном пространстве
называется всякое отображение
пространства
в себя, обладающее свойствами
и
.
Пример.
Пусть
.
Являются ли линейным следующие
преобразования:
1)
2)
3)
Решение. 1) Проверим выполнение условий для преобразования
Имеем:
;
Правые
части равенств не совпадают, следовательно,
,
т.е. 1- ое условие не выполнено, и
преобразование не является линейным.
2) Проверим выполнение условий для преобразования
.
Имеем
;
.
Аналогично получаем, что преобразование не является линейным
3) Проверим выполнение условий для преобразования
Имеем
;
.
Первое условие выполнено.
Проверим выполнение второго условия:
Оба
условия для линейного преобразования
выполнены, следовательно преобразование
является линейным.
Определение.
Пусть
- линейный оператор в линейном пространстве
и
- некоторый фиксированный базис. Разложим
векторы
,
по базису
:
,
.
Тогда матрица
называется
матрицей
оператора
в базисе
.
Заданием матрицы оператор определяется
однозначно. Пусть
и
- матрицы оператора в базисах
и
,
а
- матрица перехода от базиса
к базису
.Тогда
формула преобразования матрицы оператора
при преобразовании базиса имеет вид
.
Пример.
Найти матрицу
в базисе
,
где
,
,
,
если она задана в базисе
:
.
Решение.
Найдем матрицу перехода
,
записывая коэффициенты при базисе
по столбцам:
.
Определитель
этой матрицы:
отличен от нуля, следовательно матрица
имеет обратную
.
Используя формулу для вычисления
обратной матрицы, находим
:
.
Тогда
.
Таким
образом матрица
в базисе
имеет вид:
