8. Собственные значения и собственные векторы матриц

Определение. Число  называется собственным значением квадратной матрицы А порядка n , если существует такой ненулевой вектор-столбец , что выполняется равенство

. (1)

При этом вектор-столбец называется собственным вектором, отвечающим собственному значению .

Т.к. I = , где I - единичная матрица порядка n, то равенство (1) можно переписать в виде А - I =0 или

(A - I) = . (2)

Запишем это равенство в развёрнутом виде.

. (3)

Эта однородная система линейных уравнений, матричная форма записи которой определяется выражением (2). Эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда det (A-I) = 0.

Определение. Для всякой квадратной матрицы А уравнение

det (A-I) = 0 (4)

относительно переменной , где I - единичная матрица, называется характеристическим (вековым) уравнением, а многочлен det(A-I) - характеристическим многочленом матрицы А.

Определение. Совокупность всех собственных значений матрицы А называется её спектром (А) , причем каждое собственное значение входит в спектр столько раз, какова его кратность в уравнении (4). Если характеристическое уравнение (4) имеет лишь простые корни, то спектр матрицы А называется простым.

Свойства матрицы А, связанные с её собственными значениями, называются спектральными свойствами матрицы А. К основным из них относятся следующие:

1. det A = ( читается: "произведение по i от 1 до n" );

2. Sp A = ;

3. если матрица А имеет диагональный или треугольный вид, то _i = a_ii , i= ;

4. если _i - собственные значения матрицы А, то i= , -собственные значения матрицы А^k.

Теорема о спектре. Для того, чтобы число  было собственным значением матрицы А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения (2) матрицы А.

Вычисление собственных векторов матрицы.

После того, как будут найдены собственные значения _i , i= , матрицы А, их подставляют в систему (3) и решают её. Найденные значения x_i и будут координатами собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению _i , i= .

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А: .

Решение. Составим характеристическое уравнение det (A-I)=0.

=(5-)(2-)-4=10-5-2+²-4=²-7+6=0

₁=1; ₂=6.

Ищем собственные векторы, отвечающие собственному значению ₁=1. Для этого решаем систему линейных уравнений (A-I) =0 , т.е. .

.

Следовательно, все собственные векторы, отвечающие ₁=1, имеют вид: и получаются из одного вектора умножением на произвольное число x₁0. Положив x₁=1 , получим собственный вектор =(1;-2).

Аналогичную процедуру проделываем для ₂=6.

Откуда получаем: . Второй собственный вектор имеет вид . Полагая x₂=1, получим собственный вектор .

Геометрический смысл собственных значений и собственных векторов.

Определение. Если каждому вектору , взятому из некоторой совокупности векторов, соответствует определённый вектор , то такая векторная функция от векторного аргумента называется преобразованием.

Закон соответствия обычно записывают в виде =А , где А - символическое обозначение преобразования. Вектор =А называют образом вектора .

Преобразование А называется линейным, если для любых векторов , , и любого числа R справедливы равенства: а)A( + ) = A + A ; б)A( ) = A .

Теорема. Любое линейное преобразование можно представить и притом единственным образом в матричной форме = А .

Матрица А называется матрицей линейного преобразования.

С геометрической точки зрения собственный вектор матрицы линейного преобразования определяет прямую, проходящую через начало координат, положение которой в результате преобразования не меняется и вдоль которой плоскость ( пространство) испытывает растяжение (сжатие) в раз, если >1 ( <1). Если <0, то, кроме растяжения или сжатия, направление любого вектора, лежащего на этой прямой, меняется на противоположное: А =  = - .

.

Пример. Зеркальное отражение.

Матрица А= определяет линейное преобразование = А , = , = .

= = .

В прямоугольной системе координат X₁OX₂ это - зеркальное отражение точек плоскости относительно оси OX₁.

Любой вектор, лежащий на оси OX₁, является собственным вектором, отвечающим собственному значению ₁=1:

= , т.е. А = 1∙ .

Любой вектор, лежащий на оси OX₂, является собственным вектором, отвечающим собственному значению ₂=-1:

= = (-1)∙ , т.е. А = (-1)∙ .

Матрица А = определяет преобразование, являющееся зеркальным отражением точек плоскости относительно оси OX₂.

Можно рассматривать также зеркальное отражение относительно любой прямой, проходящей через начало координат.

В случае трёхмерного пространства зеркальное отражение его можно производить в любой плоскости, проходящей через начало координат. Такое преобразование также будет линейным.