Вопросы для повторения.

1. Вектор. Модуль вектора. Нулевой и единичный векторы. Коллинеарные, компланарные, равные, противоположные векторы,

2. Линейные операции над векторами и их свойства.

3. Геометрическая проекция вектора на ось (направление) и её свойства. Алгебраическая проекция.

4. Векторы в декартовой системе координат.

5. Скалярное произведение векторов и его свойства.

6. Векторное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Координаты векторного произведения. Двойное векторное произведение.

7. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства.

8. Определение евклидова векторного пространства Rⁿ.

9. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Ранг системы векторов. Диагональная система векторов. Теорема о разложении вектора по базису. Ортогональный, ортонормированный, единичный базисы.

Задачи для самостоятельного решения.

1. На векторах и построить треугольник OAB. Точка М делит сторону отрезка АВ в отношении 2:3. Найти координаты вектора .

2. Построить треугольник с вершинами А(2,-3,1), В(4,11,6), С(4,-4,3). Найти длины сторон АС, АВ и угол ВАС.

3. Построить параллелограмм на векторах и . Определить острый угол между диагоналями параллелограмма.

4. Даны векторы и . Найти вектор , ортогональный и , если его длина равна

5. Найти .

6. В пространстве даны 4 точки: А(1,1,1), В(4,4,4), С(3,5,5), D(2,4,7). Найти объём тетраэдра АВСD.

7. Показать, что векторы линейно зависимы. Найти эту зависимость.

8. Для системы векторов из задачи 1 найти все базисы.

9. Определить ранг системы векторов: , .

10. Векторы образуют базис в R³. Разложить по этому базису вектор .

11. Найти векторы, дополняющие следующие системы до ортонормированных базисов:

12. a)

13. б)

14. Даны ортонормированные векторы ,и Подобрать третий вектор так, чтобы система , , образовала ортонормированный базис.

15. Показать, что векторы , ортогональны. Дополнить систему , до ортогонального базиса. Найти координаты вектора в этом базисе.

16. Векторы образуют ортонормированный базис. Найти в этом базисе координаты вектора

17. Показать, что векторы образуют базис в R³. Разложить вектор по этому базису.

Глава 5. Задачи линейного программирования

1. Постановка задачи линейного программирования (злп)

Линейное программирование - наука о методах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой ограничений. Математическое выражение целевой функции и её ограничений называется математической моделью задачи.

В общем виде ЗЛП ставится следующим образом (общая ЗЛП): найти максимум (минимум) функции

(1)

при ограничениях

(2)

где ( ) - управляющие переменные или решения задачи

(1)-(2), а_ij, b_i, с_j, i= , j= , - заданные числа (параметры), F-целевая функция или критерий эффективности (оптимальности) задачи.

Функция (1) - линейная, ограничения (2) - линейные. Задача содержит n переменных и m ограничений.

Решить ЗЛП - это значит найти значения управляющих переменных x_j, j= , удовлетворяющих ограничения (2), при которых целевая функция (1) принимает экстремальное значение.

Основной (канонической) ЗЛП называется задача, состоящая в определении максимума целевой функции при ограничениях, заданных равенствами и .

Допустимым решением (планом) ЗЛП называется вектор X=(x_1, x₂, …, x_n), удовлетворяющий системе ограничений (2). Множество допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР).

Допустимое решение Х^*= , при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным решением ЗЛП.