- •Введение
- •Глава 1. ОСновные понятия теории множеств, комплексных чисел и алгебры многочленов
- •1. Элементы теории множеств и комплексных чисел
- •1.1. Понятие множества. Операции над множествами
- •1.2. Числовые множества и их свойства.
- •2. Алгебра многочленов.
- •Глава 2. Матрицы. Определители
- •1. Алгебра матриц.
- •Виды матриц.
- •2. Определитель n-го порядка.
- •2.1. Определение. Вычисление определителей 2 и 3-го порядков.
- •2.2.Миноры и алгебраические дополнения.
- •2.3.Свойства определителя n-го порядка.
- •3. Действия над матрицами.
- •3.1. Линейные операции над матрицами.
- •3.2. Умножение матриц.
- •3.3. Многочлены от матриц.
- •3.4. Обратная матрица.
- •Вычисление обратной матрицы (через алгебраические дополнения).
- •3.5. Линейная зависимость строк и столбцов матрицы.
- •3.6. Ранг матрицы. Базисный минор.
- •3.7 Нахождение ранга матрицы
- •Вопросы для повторения.
- •Глава 3. Системы линейных уравнений и методы их решения.
- •1. Основные понятия и определения
- •2. Условия совместности системы линейных уравнений
- •3. Метод обратной матрицы
- •4. Правило Крамера
- •5. Метод Гаусса исключения неизвестных
- •7. Метод полного исключения
- •7.1. Решение систем линейных уравнений
- •7.2. Вычисление обратной матрицы методом полного исключения.
- •7.3. Вычисление ранга матрицы методом полного исключения
- •Линейное пространство.
- •8. Собственные значения и собственные векторы матриц
- •9. Квадратичные формы
- •10. Численные методы решения систем линейных уравнений
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Глава 4. Векторная алгебра
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Вопросы для повторения.
- •Глава 5. Задачи линейного программирования
- •1. Постановка задачи линейного программирования (злп)
- •2. Графический метод решения злп
- •3. Симплекс – метод решения злп
- •4. Двойственные злп
- •Методы определения опорного плана тз.
- •Вопросы для повторения.
- •Глава 6. Балансовые модели
- •1. Экономико-математическая модель (эмм) межотраслевого стоимостного баланса (модель Леонтьева)
- •Модель международной торговли
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Библиографический список
- •Глава 1. ОСновные понятия теории множеств, комплексных чисел и алгебры многочленов 4
- •Глава 2. Матрицы. Определители 17
- •Глава 3. Системы линейных уравнений и методы их решения. 52
- •Глава 4. Векторная алгебра 103
- •Глава 5. Задачи линейного программирования 118
- •Глава 6. Балансовые модели 153
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Глава 3. Системы линейных уравнений и методы их решения.
1. Основные понятия и определения
Системой m линейных уравнений с n переменными называется система вида
, (1)
где aij, bi, , - произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.
Решением системы (1) называется такая совокупность чисел ki, при подстановке которых в систему вместо переменных xi, каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет решений.
Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения.
Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.
Запишем систему (1) в матричной форме. Пусть
где A – матрица коэффициентов при переменных (она называется матрицей системы), X – вектор–столбец переменных, B - вектор–столбец cвободных членов.
Так как число столбцов матрицы A равно числу строк вектор–столбца X, то их произведение равно вектору-столбцу
.
Его элементами являются левые части системы (1). На основании определения равенства матриц систему (1) можно записать в виде:
AX = B. (2)
Определение. Матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
2. Условия совместности системы линейных уравнений
Теорема Кронекера – Капелли (необходимое и достаточное условие совместности системы линейных уравнений).
Для того, чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы A системы был равен рангу расширенной матрицы A*.
Пример. Исследовать систему линейных уравнений на совместность:
.
Решение. Матрица системы A имеет вид
.
Расширенная матрица системы имеет вид:
.
Найдём её ранг методом элементарных преобразований:
Из последнего видно, что , а Так как
rang A rang A* , то по теореме Кронекера – Капелли система линейных уравнений несовместна.
Свойства совместных систем линейных уравнений.
Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. rang A = n, то система (1) имеет единственное решение.
Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. rang A < n, то система (1) неопределённая и имеет бесконечное множество решений.
3. Метод обратной матрицы
Пусть m=n. Тогда det A называется определителем системы. Предположим, что detA0. В этом случае выражение (2) можно рассматривать как матричное уравнение AX=B, которое имеет единственное решение X=A-1B, которое и будет решением системы линейных уравнений.
Пример. Решить систему линейных уравнений:
Решение. Матрица системы и её определитель равны:
; det A = 15-1-8-4-3-10 = -11 ≠ 0.
Так как определитель отличен от нуля, то обратная матрица A-1 существует. Найдём её, вычисляя алгебраические дополнения элементов матрицы A.
;
;
; ;
; ;
.
Тогда
.
Значит, решение системы имеет вид
Откуда: x=-1; y=3; z=2.