Методическое пособие 247

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Воронежский государственный архитектурно-строительный университет"

А.В. ЛОБОДА

ОДНОРОДНОСТЬ ВЛОЖЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ.

АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕЩЕСТВЕННЫХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВА C2

МОНОГРАФИЯ

Воронеж 2012

3

4

Посвящается памяти

Анатолия Георгиевича Витушкина

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основная цель настоящей книги состоит в описании одного класса однородных многообразий.

Отметим, что сходные по сути задачи ставились и решались математиками уже в конце 19-го – начале 20-го веков. Так, описание аффиннооднородных кривых на плоскости было получено школой Бляшке [13]. Поверхности 3-мерного вещественного пространства, однородные относительно различных подгрупп аффинной группы, были описаны в середине 20го века. Тогда же эти описания были включены в учебники по дифференциальной геометрии. Например, в книге [29] приведен "полный" список эквиаффинно-однородных поверхностей пространства R3.

Задачи, связанные с однородностью, изучались также в развивающемся параллельно с геометрией многомерном комплексном анализе. С самых ранних этапов становления этого раздела математики было известно, что в случае нескольких комплексных переменных не верна классическая (одномерная) теорема Римана о голоморфном взаимно-однозначном соответствии любой односвязной области с "большой" границей единичному шару.

Одной из причин этого является голоморфное различие границы произвольной области в пространстве Cn(n > 1) и сферы. Более того: две произвольные вещественные гиперповерхности пространства Cn, как правило, не сводимы голоморфными преобразованиями друг к другу. Названный прицип справедлив даже в локальном варианте. Как следствие два ростка одной и той же поверхности (даже связанные с близкими ее точками) оказываются, как правило, различными с голоморфной точки зрения.

Втакой ситуации оправданным является интерес к "исключительным" гиперповерхностям, которые являются "одинаковыми" во всех своих точках, т.е. однородными относительно голоморфных преобразований.

В1932 г. Э. Картан построил в [48] полный список голоморфно однородных вещественных гиперповерхностей 2-мерных комплексных пространств. Отметим, что в голоморфной геометрии в отличие от аффинного случая понятие однородности оказывается существенно более локализованым и связанным лишь с псевдогруппой локально определенных голоморфных отображений [53], а не с группой глобально определенных преобразований. Впро-

5

чем, сужение задачи за счет требования компактности изучаемых многообразий и соответствующих групп голоморфных преобразований позволяет и здесь получать глобально-классификационные результаты (см., например [2]).

Близость задач об аффинной и голоморфной однородности связана с тем, что в рамках второй, более сложной, задачи естественно выделяется класс аффинно-однородных многообразий, которые, разумеется, являются однородными и в голоморфном смысле. Однако возобновление исследований этого класса поверхностей, по существу, было начато лишь недавно, в связи с возрождением в конце 20-го века интереса к тематике однородности вложенных подмногообразий.

Впервую очередь этот интерес проявился в публикации большого числа работ по дифференциальной геометрии, посвященных однородности в "простейших" ее проявлениях и связанному с ней изучению различных инвариантных структур на вложенных многообразиях.

Вэтой связи можно назвать статьи об аффинной однородности и книги по аффинной дифференциальной геметрии таких известных геометров, как Широков А.П. и Широков П.А. [96], Номидзу и Сасаки [71], [72], Б. Опозда [78], У. Саймон [77], представителей бельгийской дифференциальногеометрической школы Ф. Диллена, Л. Вранкен [89], [34].

С появлением этих работ выяснилось, что "простые" задачи и их "известные" решения нуждаются в переосмыслении и проверке. Так, приведенный в [29] список поверхностей вещественного пространства R3, однородных относительно эквиаффинных преобразований, оказался неполным [71]. Однако поток публикаций этого времени, связанный прямо или косвенно с задачей построения полных списков аффинно однородных поверхностей 3-мерного вещественного пространства и написанных с позиций дифференциальной геометрии, эту задачу так и не решил.

Наряду с развитием аффинно-геометрического направления в однородной тематике тогда же, в конце 20-го века, появлялись работы иного звучания. Так, алгебраическими (а не геометрическими !) средствами в работе [35] было получено полное описание аффинно однородных поверхностей 3- мерного вещественного пространства. Решение этой задачи базируется на описании всех матричных алгебр Ли, состоящих из вещественных квадратных матриц 3-го порядка. Вышли в свет работы [86], [56] о проективной однородности вложенных подмногообразий. В интересной статье топологов Щепина, Скопенкова и Реповша [81] была установлена гладкость подмногообразий Rn, обладающих изначально лишь "слабой" формой однородности.

6

Тогда же автором настоящей книги был предложен аналитический подход к изучению однородности гладких вложенных подмногообразий (см. [57], [58], [59]). Этот подход связан с каноническими (относительно заданного класса преобразований) уравнениями изучаемых объектов.

Как показывают обсуждаемые ниже результаты, коэффициентный подход оказывается достаточно универсальным при изучении как аффинной, так и голоморфной однородности. Особенностью его применения в различных ситуациях является необходимость весьма кропотливой подготовительной проработки деталей. Однако, в целом он оказывается полезным при изучении однородности относительно различных классов преобразований; размерность задачи является при этом важным, но не решающим фактором.

Автор выражает благодарность коллегам-математикам, способствовавшим написанию этой книги и внесению многочисленных уточнений в уже написанный текст. В первую очередь это относится к участникам семинара МГУ по многомерному комплексному анализу под руководством Е.М. Чирки, Немировского С.Ю., Белошапки В.К.

Персональные благодарности автор адресует, кроме того, Кружилину Н.Г., Коссовскому И.Г., Исаеву А.В., Шмальцу Г., Сергееву А.Г., Гиллигану Б., Бовэ А., Сабитову И.Х., Винбергу Э.Б., Шафикову Р.Г., Сухову А.Б., Ивашковичу С.М., Щербине Н.В., Ежову В.В., Зайцеву Д., Шурыгину В.В.

Автор отмечает благожелательное отношение, проявленое к его работе при подготовке монографии, в Воронежском архитектурно-строительном университете и в Воронежском государственном университете. Особую признательность автор выражает при этом своим коллегам по кафедре высшей математики ВГАСУ Седаеву А.А. и Стенюхину Л.В.

За финансовую поддержку в процессе работы над рукописью автор благодарит РФФИ (грант 08-01-00743-а) и Билефельдский университет (Германия, грант SFB-701) в лице проф. Григорьяна А.А., проявившего интерес к результатам, вошедшим в данную книгу. На научных семинарах Билефельдского университета результаты исследований автора докладывались дважды в 2010 и 2011 гг.

Помимо многократных докладов на научных семинарах в МГУ результаты монографии были доложены на международных конференциях "Almost Complex Geometry and Foliations"(Лилль, Франция, Maй-2010) и "Метрическая геометрия поверхностей и многогранников"(Москва, август2010).

7

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая книга посвящена обсуждению результатов, полученных коэффициентным методом в задаче описания аффинно однородных вещественных гиперповерхностей комплексного двумерного пространства. Идея написания этой книги возникла в процессе изучения однородности (в первую очередь,

голоморфной, и как вспомогательного средства – аффинной) для класса вещественных гиперповерхностей 3-мерного комплексного пространства.

Первоначально предполагалось, что классификацию Э. Картана голо- морфно-однородных вещественных гиперповерхностей относительно легко удастся обобщить с двумерного случая на 3-мерные объемлющие пространства. Однако достаточно быстро стало ясно, что данная проблема является качественно иной и более сложной.

Вэтой ситуации естественно возникла более простая задача, связанная

сописанием аффинно однородных гиперповерхностей в том же, 3-мерном, случае. Имеется большое количество очевидных частных решений этой задачи: таковыми являются, например, все трубчатые гиперповерхности (трубки) над аффинно-однородными поверхностями обычного вещественного пространства R3. Одновременно все такие трубки являются и голоморфно однородными гиперповерхностями в пространстве C3.

Помимо этих решений удалось построить за счет процедуры так называемого продолжения матричных алгебр Ли достаточно большое семейство аффинно-однородных гиперповерхностей в C3, не сводимых аффинными преобразованиями к трубкам (см. [67], [33], [31], [37]). Однако, несмотря на кажущуюся простоту формулировки изучаемой задачи, о полноте описания даже аффинно-однородных поверхностей в C3 после получения этих частных результатов речь не идет.

Это понимание появилось после попытки опереться на список еще более простых однородных объектов, а именно, аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства C2. Именно такая постановка прояснила ситуацию, которая оказалась в известной степени парадоксальной. Выяснилось, что несмотря на 80-летний срок, прошедший после опубликования работы Картана [48] о голоморфной однородности в 2-мерных комплексных пространствах, классификация аффинно-однородных гиперповерхностей отсутствует даже в 2-мерном случае.

Настоящая работа имеет целью заполнить образовавшийся пробел в кажущейся достаточно простой задаче комплексной геометрии. Ниже при-

8

водится полное, как надеется автор, описание аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства C2.

Описание получено в рамках коэффициентного подхода к задаче об однородности, опирающегося, в первую очередь, на локальные канонические уравнения изучаемых многообразий. Используется также техника матричных алгебр Ли. В то же время автор не исключает возможности получения основных классификационных результатов данной книги чисто геометрическими методами.

Коэффициентный подход учитывает разделение всех изучаемых многообразий на два геометрически естественных класса: невырожденных и вырожденных в смысле Леви поверхностей (см. [94]). Каждому из двух этих классов посвящена в книге отдельная глава (вторая и третья соответственно). В первой главе обсуждаются общие подготовительные конструкции.

Такое разбиение материала книги на главы может показаться странным для математика, знакомого с упоминавшейся выше работой Картана. В этой работе построен достаточно объемный список невырожденных по Леви однородных поверхностей; при этом существует лишь одна (с точностью до голоморфной эквивалентности) вырожденная по Леви голоморфно однородная вещественная гиперповерхность в C2 - гиперплоскость Im w = 0. Одна из причин появления отдельной главы, посвященной именно вырожденным по Леви аффинно-однородным поверхностям в C2, связана с противоположной ситуацией в случае аффиной однородности: Леви-вырожденных аффинно-однородных поверхностей в C2 оказывается гораздо больше, чем невырожденных (разумеется, локальными голоморфными преобразованиями все вырожденные поверхности превращаются в плоскость Im w = 0).

Отметим еще, что классификации вырожденных по Леви голоморфнооднородных гиперповерхностей 3-мерных комплексных пространств посвящена недавняя большая статья [88]. В связи с нашей работой интересно уточнить, что все такие поверхности сводятся к произведениям картановых поверхностей на одномерную комплексную плоскость либо к аффиннооднородным гиперповерхностям в C3.

В целом классификационные результаты, излагаемые ниже, имеют, по мнению автора, важное значение как сами по себе, так и в связи с их возможными приложениями в различных разделах математики, физики и других естественных наук.

Отметим, что исследование геометрии вещественных гиперповерхностей и подмногообразий многомерных комплексных пространств с разных точек зрения было и остается одним из приоритетных направлений дея-

9

тельности семинара МГУ по многомерному комплексному анализу, основанного Шабатом Б.В., Гончаром А.А. и Витушкиным А.Г. (см., например, [77], [6], [1], [87]). Задачей, обсуждаемой в данной книге, автор начал заниматься фактически по предложению Пинчука С.И. в период, когда еще сохранялся "соревновательный пыл" между сторонниками разных подходов к изучению геометрии гиперповерхностей (см. [20], [78]). Отметим, впрочем, что в основополагающей работе [92] на эту тему предмет излагается как с дифференциально-геометрической, так и с коэффициентной точек зрения.

Полученные в книге результаты показывают существенное отличие изученной Картаном голоморфной однородности в 2-мерных комплексных пространствах от аффинной однородности и подтверждают необходимость отдельного описания последней. Естественные обобщения этих результатов должны помочь решению задач классификации однородных подмногообразий в комплексных пространствах более высоких размерностей.

10