Методическое пособие 247

2)затем из полученных ограничений выводятся (достаточно жесткие) оценки размерностей алгебр g(M) для поверхностей из рассматриваемого класса;

3)далее выписываются в "грубой" форме базисные матрицы гипотетических алгебр (требуемых размерностей), соответствующих однородным поверхностям; за счет проверки условий замкнутости относительно матричной скобки мы получаем точные формулы для базисов требуемых алгебр;

4)на завершающем этапе построенные матричные алгебры интегрируются, что приводит к получению искомых однородных многообразий.

При этом главная рабочая идея монографии заключается в рассмотрении младших весовых компонент основного тождества. Из этого рассмотрения получается практически полная информация об интересующих нас алгебрах Ли. После чего остается проинтегрировать полученные алгебры и сформировать список аффинно-однородных гиперповерхностей.

Взависимости от типа или веса рассматриваемых поверхностей обозначенная идея претерпевает некоторые изменения, но в целом остается общим стержнем монографии.

Всоответствии со сказанным рассмотрим для случая Леви-невырож- денных гиперповерхностей основное тождество в компонентах весов 0,1,2,3

и4. Выписанные в §1.3 тождества (1.49), (1.50) и (1.51) мы будем разбивать на отдельные уравнения по числу различных мономов от переменных z; z; u, имеющих требуемый вес.

Предложение 1.7. В случае Леви-невырожденных гиперповерхностей из системы соотношений (1.47) - (1.51) выводится следующая система девяти уравнений:

41

Вес 4: (0,0,2): f002B21 2 A22 + (f102p + f012p + 3f003q) = 0:

Мы не будем приводить здесь полное доказательство сформулированного утверждения, состоящего из 9 пунктов. Эти пункты обсуждаются единоообразно, и выписанные в них формулы можно получить компьютерным образом (автор использовал для этой цели, как и для многих других выкладок, пакет символьной математики MAPLE). Принцип же получения этих формул прокомментируем на примере начальных уравнений весов 0 и 1.

В компонентах этих весов основного тождества (1.43) ранее были выписаны уравнения (1.47) и (1.48), т.е.

вес 0 : Re 2i q = 0;

При этом (1.47) совпадает с первой формулой предложения 1.7.

В тождестве (1.48) необходимо учесть, что

Тогда в весе 1 мы получим уравнение

Учитывая равенство вещественных частей у комплексно сопряженных выражений, получаем далее

Последнее равенство должно выполняться тождественно по переменной z, что приводит к упрощению его до выписанного выше (1,0,0)-уравнения. Остальные семь из заявленных девяти уравнений получаются по аналогичным схемам.

Информации, содержащейся в выписанных уравнениях, достаточно для получения практически полного представления об изучаемых нами однородных поверхностях.

Замечание. Строго говоря, в одном из рассматриваемых далее случаев нам потребуется еще одно, десятое, уравнение в дополнение к уже выписанным в предложении 1.7 компонентам основного тождества. Речь идет

42

о (2,0,1)-компоненте, получаемой по описанной выше схеме и имеющей в самом общем случае вид

Впрочем, нам это уравнение потребуется лишь при рассмотрении однородных поверхностей общего положения, поэтому группу из 4-х слагаемых, входящих в это уравнение и содержащих множитель , можно было не упоминать.

Одним из самых простых содержательных результатов о коэффициентах канонических уравнений аффинно-однородных невырожденных поверхностей, справедливых при " 6= 0, является следующее утверждение.

Предложение 1.8. Если квадратичная часть канонического уравнения (1.29) аффинно-однородной поверхности M не равна нулю, то коэффициенты этого уравнения удовлетворяют следующим ограничениям:

Для доказательства выразим из (2,0,0)-компоненты основного тождества коэффициент A1:

Подставляя далее полученную формулу в (1,1,0)-компоненту, получим новое равенство

(4f210" 3f300 f120)p + ( f210 3f030 + 4f120")p + (2"f111 f201 f021)q = 0

(1:70)

Здесь и далее мы будем использовать следующее очевидное соображе-

ние.

Замечание. Пусть три (комплексных) константы A; B; C таковы, что равенство

Ap + Bp + Cq = 0

выполняется при произвольных p 2 C; q 2 R. Тогда все три эти константы равны нулю.

В силу этого соображения получаем из (1.70) справедливость соотношения (1.68) на коэффициенты канонического уравнения (1.29) рассматриваемой однородной поверхности.

43

Еще одной иллюстрацией возможностей коэффициентного подхода, опирающегося на использование векторных полей при описании однородных многообразий, является доказанное в §1.4 предложение 1.6. Оно характеризует вещественную гиперплоскость в терминах младших коэффициентов канонического уравнения вырожденной по Леви гиперповерхности.

Аналог этого утверждения имеет место и для Леви-невырожденных аффинно-однородных гиперповерхностей. В заключение этого раздела мы рассмотрим уравнение (1.46) при дополнительном ограничении, связанном с обращением в нуль коэффициентов A2 и B22 всех полей из обсуждаемой алгебры g(M). Ниже мы будем получать это ограничение именно за счет рассмотрения девяти основных уравнений предложения 1.7.

Легко видеть, что при условиях

уравнение (1.46) существенно упрощается и становится линейным относительно функции F (z; z; u) (независимо от значений параметра "). Это позволяет достаточно легко получить следующее утверждение.

Предложение 1.9. Если в каноническом уравнении (1.29) однородной поверхности M

^

F3 = 0; F4 = 0;

и для всех полей из алгебры g(M) выполняются равенства (1.71), то обсуждаемая поверхность - квадрика с уравнением

Для доказательства рассмотрим уравнение (1.46), упрощенное за счет (1.71):

Компонента произвольного веса k 3 этого упрощенного уравнения легко вычисляется и имеет вид

44

Теперь индуктивное применение леммы 1 из §1.4 приводит к утверждению о тождественно нулевых весовых компонентах Fk(k 3) канонического уравнения обсуждаемой однородной поверхности. Тем самым, эта поверхность, действительно, имеет уравнение (1.72).

Завершая этот раздел, отметим, что при изучении аффинной однородности в случае Леви-вырожденных поверхностей мы также активно используем основное тождество. Однако, вследствие заведомого обнуления многих коэффициентов канонических уравнений, играющих в этом тождестве важную роль, мы не будем здесь выписывать аналог основной системы девяти уравнений для Леви-вырожденных поверхностей самого общего случая. Вместо этого изучение каждой конкретной ситуации мы будем начинать со своих, специфических по форме, следствий основного тождества.

§1.6. Интегрирование матричных алгебр Ли

Согласно общей схеме построения списка однородных поверхностей, изложенной в предыдущем параграфе, нам придется проинтегрировать достаточно много матричных алгебр. Каждая из таких алгебр, появляющихся в нашей задаче, состоит из комплексных квадратных матриц 3-го порядка вида (1.44), т.е.

Напомним, что в изучаемой задаче такие матрицы соответствуют аф-

касательным к однородным поверхностям.

Завершающий этап решения нашей задачи в каждом частном случае состоит в построении по заданной алгебре векторных полей касающейся всех этих полей вещественной гиперповерхности. Отметим, что теоретической базой, гарантирующей существование искомой поверхности, является известная теорема Фробениуса (см., например, [12], [73]). Нам эта теорема потребуется в следующей формулировке, близкой к изложению [73].

Предложение 1.10 (Теорема Фробениуса). Для произвольной алгебры аффинных векторных полей, имеющей в окрестности фиксированной точки пространства C2 ранг, равный 3, существует (и притом

45

единственное) интегральное многообразие обсуждаемой алгебры размерности 3 (т.е. вещественно-аналитическая гиперповерхность), проходящее через обсуждаемую точку .

Подготовительная работа по описанию алгебр, отвечающих однородным поверхностям, на основании этой теоремы завершается построением списка требуемых поверхностей. Выскажем, тем не менее, одно замечание о предоставляемых теоремой Фробениуса возможностях. Это замечание относится к работам, в которых итоговые классификационные теоремы об однородных многообразиях формулируются в терминах алгебр Ли, соответствующих этим многообразиям (см., например, [2]).

Нисколько не умаляя значение таких работ, отметим, что в задаче описания однородных многообразий результаты такого рода не могут считаться окончательными. Для иллюстрации этого тезиса упомянем пример 3-параметрического семейства аффинно различных аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства C2, рассматриваемый ниже (глава 3, §3.2). Алгебра Ли, отвечающая каждой поверхности из этого семейства, является 3-мерной диагональной (а следовательно, коммутативной) алгеброй.

С абстрактно-алгебраической точки зрения существует лишь одна коммутативная 3-мерная алгебра Ли. В то же время, повторим, все поверхности из упомянутого семейства аффинно-различны.

Возвращаясь к практическому использованию теоремы Фробениуса в нашей книге, напомним, что единственность восстанавливаемой по алгебре Ли поверхности обепечивается фиксацией точки (начала координат пространства C2), с которой мы связываем изучаемую алгебру. Сама эта алгебра имеет ранг 3 в начале координат в силу требования 3-мерности вещественной линейной оболочки последних столбцов матриц вида (1.44), составляющих обсуждаемую алгебру.

Отметим, что для 3-мерной алгебры этим же требованием обеспечивается сохранение максимального ранга в окрестности начала координат. Алгебры большей размерности, имеющие, тем не менее, в фиксированной точке ранг, равный 3, составляют меньшую часть всего списка алгебр. Их интегрирование сопряжено с меньшим количеством проблем.

В любом случае, независимо от размерностей обсуждаемых алгебр, можно предложить два способа их интегрирования. Оба этих способа достаточно трудоемки, и потому помимо конкретных обсуждений их для каждой из алгебр в соответствующих разделах монографии здесь мы дадим краткие общие комментарии по их применению.

46

Первый способ, используемый в книге в качестве основного, связан с решением систем уравнений в частных производных. Каждое уравнение такой системы представляет собой основное соотношение (1.43) для одного из базисных векторных полей изучаемой алгебры. Все эти уравнения являются, вообще говоря, квазилинейными (в силу рассмотрения аффинных векторных полей).

Любое такое уравнение в частных производных может быть решено за счет перехода к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и использования первых интегралов данной системы. Подстановка решения одного уравнения с частными производными в оставшиеся уравнения исходной системы уменьшает на единицу количество уравнений в ней с одновременным уменьшением числа (измененных) независимых переменных в системе.

На последнем шаге такой последовательной процедуры от исходной системы с частными производными остается одно ОДУ. Его решение определяется, как известно, с точностью до произвольной константы. Фиксация точки поверхности (как правило, начала координат) позволяет однозначно определить эту константу и, тем самым, восстановить единственную искомую поверхность в соответствии с теоремой Фробениуса.

При интегрировании различных алгебр часто оказываются полезными такие свойства связанных с этими алгебрами интегральных поверхностей, как жесткость и трубчатость, весьма популярные в современных исследованиях по комплексному анализу (см., например, [41], [97], [85]). Так, условие жесткости поверхности M, т.е независимость определяющего эту поверхность уравнения от переменной u = Rew, означает наличие в алгебре g(M) поля @=@w. Это свойство позволяет уменьшить на единицу число шагов в схеме последовательного интегрирования алгебры Ли.

Отметим, что любую голоморфно однородную вещественную гиперповерхность комплексного пространства любой размерности n можно перевести голоморфным преобразованием в жесткое состояние. Связано это с тем, что голоморфным преобразованием можно (локально) выпрямить любое ненулевое голоморфное векторное поле и привести его к виду @=@zn:

Наличие для обсуждаемой поверхности такого векторного поля, касательного к ней, равносильно жесткости этой поверхности в рассматриваемых кординатах.

В отличие от голоморфной геометрии не любое линейное поле в комплексном пространстве Cn выпрямляется линейным преобразованием. Бо-

47

лее того, ни одно линейное поле, касательное к аффинно-однородной сфере

S3 = fjzj2 + jwj2 = 1g C2;

не выпрямляется аффинными преобразованиями. Привести уравнение сферы такими преобразованиями к жесткому виду невозможно.

Трубчатость (или цилиндричность по двум вещественным переменным, например, y = Imz; u = Rew) гиперповерхности пространства C2 также легко проиллюстрировать в терминах касательных к такой поверхности полей. Трубчатые поверхности и обобщающие их поверхности трубчатого типа занимают в нашей работе важное место.

Отметим, что для облегчения интегрирования отдельных уравнений системы бывает удобно перейти от исходной алгебры g(M), связанной с каноническим видом уравнения, к подобной ей алгебре g = C 1g(M)C с некоторой невырожденной матрицей C.

Уточним здесь еще один момент. Обсуждаемые алгебры состоят из комплексных квадратных матриц 3-го порядка, отвечающих аффинным векторным полям в пространстве C2. В то же время, аффинные преобразования этого пространства можно рассматривать как линейные преобразования проективного пространства CP2, сохраняющие его конечную часть.

Соответственно, подобие двух квадратных матриц 3-го порядка (а значит, и алгебр, состоящих из таких матриц) может быть реализовано матрицей C 2 GL(3; C), имеющей полновесную проективную, а не аффинную структуру.

Во избежание этого во всех преобразованиях подобия 'C : A ! C 1AC алгебр g(M), рассматриваемых с целью "улучшения" этих алгебр, будут использоваться лишь матрицы C специального вида

Подобие алгебр с такой матрицей соответствуют аффинному преобразованию координат пространства C2 с матрицей C, имеющей, разумеется, обратимый 2 2-блок

При этом начало координат, с которым связаны обсуждения канониче-

48

ских уравнений, переходит в точку с координатами

Матрицы выписанного выше типа (1.77), отвечающие аффинным преобразованиям, мы будем использовать при обсуждении следующей ситуации.

Определение 7. Пусть g - алгебра Ли, состоящая из матриц вида (1.44). Будем называть эту алгебру аффинно диагонализируемой, если подобие 'C : A ! C 1AC с некоторой матрицей C вида (1.77) переводит g в диагональную алгебру.

Уже упоминавшийся выше пример 3-параметрического семейства аф- финно-однородных поверхностей включается в общие обсуждения монографии через аффинно-диагонализируемые алгебры, играющие роль связующего звена.

При обсуждении диагональных алгебр удобнее вместо описанного выше непосредственного их интегрирования использовать второй подход, связанный с экспоненциальным отображением (см. [36]). Ниже мы используем этот подход в различных ситуациях, но здесь проиллюстрируем его лишь на простом примере диагональных алгебр.

Так как экспонента диагональной матрицы сама является диагональной, то группа G(M), соответствующая диагональной алгебре g(M), содержит только диагональные матрицы. При этом g(M) является линейной группой, вложенной в GL(2; C). Ее элементы в случае dimR g(M) = 3 могут быть представлены в параметрической форме в виде

где E1; E2; E3 - базис 3-мерной диагональной алгебры g(M).

Соответственно, в параметрической форме в этом случае представляются и линейно-однородные поверхности. Они являются орбитами группы, образованной матрицами вида (1.78).

Отметим, что все поверхности, отвечающие диагональным алгебрам g(M), являются Леви-плоскими; они рассматриваются в 3 главе монографии. Во второй главе экспоненциальное отображение применяется для интегрирования некоторых недиагональных алгебр.

Еще один технический момент можно считать общим при практическом интегрировании различных матричных алгебр. Мы обсудим его, чтобы облегчить процедуру интегрирования еще в некоторых случаях. Напомним,

49

что интересующие нас матричные алгебры имеют некоторые особенности в строении, а их размерности удовлетворяют оценке снизу 3 dimR g: При этом имеются и относительно легко строятся содержательные примеры алгебр больших размерностей.

Предложение 1.11. Пусть g h - две алгебры Ли аффинных векторных полей в пространстве C2, т. что:

а) вблизи фиксированной точки этого пространства меньшая из алгебр, т.е. g, является регулярным распределением ранга 3;

б) "большая" алгебра, т.е. h, имеет в качестве интегрального многообразия некоторую вещественно-аналитическую гиперповерхность M, проходящую через точку ;

в) точка является регулярной (неособой) точкой поверхности M.

Тогда эта же поверхность M является интегральной и для меньшей алгебры g.

Геометрический смысл этого утверждения достаточно прозрачен. Интегральное многообразие алгебры g, проходящее через точку (существующее по теореме Фробениуса), является в силу аналитичности аффинных полей 3-мерной вещественно-аналитической гиперповерхностью. Эта поверхность определяется однозначно, что следует как из самой теоремы Фробениуса, так и из аналитичности определяющей многообразие системы уравнений. Имеющаяся интегральная поверхность M для большей алгебры h касается всех полей из меньшей алгебры. В силу отмеченного свойства единственности M является интегральным многобразием для g.

50