Методическое пособие 247

касательным к гиперповерхности M пространства R3.

Здесь через Aij обозначены производные (в точке t, отвечающей тождественному преобразованию) матричных элементов aij из формулы (1.38). Производные сдвиговой компоненты преобразования (1.38) образуют вектор, координаты которого обозначены через p; s; q.

Факт касания аффинным векторным полем Z обсуждаемой однородной поверхности

M = f (x1; x2; x3) = 0g

записывается, как известно, в виде

fZ( )gjM = 0:

Для дальнейшей работы с алгебрами аффинных полей удобно перейти к их матричным представлениям. При этом полю (1.39) ставится в соответствие квадратная матрица 4-го порядка

имеющая нулевую последнюю строку.

При построенном представлении скобке векторных полей соответствует скобка (коммутатор) матриц

[Z1; Z2] = Z1Z2 Z2Z1;

а размерность алгебры векторных полей равна размерности соответствующей матричной алгебры.

Опишем здесь группы аффинных преобразований однородных плоских кривых из теоремы 1.1. и соответствующие им алгебры Ли.

Пример 4. Рассмотрим, прежде всего, степенную кривую y = x (с произвольным показателем ) вблизи точки (1; 1) плоскости R2x;y. Имеется группа линейных преобразований

сохраняющих эту кривую. Дифференцирование такого группового преобразования по параметру t (в точке t = 1) приводит в этом случае к инфинитезимальному преобразованию, имеющему в матричной форме вид линейного

31

Пример 5. Для логарифмической (или, с точностью до замены переменных, экспоненциальной) кривой y = ln x однопараметрическая группа сохраняющих ее аффинных (но не линейных !) преобразований описывается формулами

Пример 6. Кривой y = x ln x соответствует группа линейных преоб-

разований

x = tx; y = (t ln t)x + ty (t > 0)

Пример 7. Каждая логарифмическая спираль из семейства r = eB', B 0 сохраняется комплексным умножением на произвольную точку, лежащую на ней самой. В вещественных координатах такое преобразование

Конструкции, аналогичные описанным выше, возможно реализовать и в расссматриваемом нами случае аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей многомерных комплексных пространств. Рассмотрим случай комплексного пространства C2, основной для настоящей монографии.

Аффинные (комплекснозначные) векторные поля в этом пространстве, касательные к какой-либо аффинно-однородной вещественной гиперповерхности M, также образуют алгебру Ли. Эту алгебру можно рассматривать (как и ранее) как совокупность инфинитезимальных преобразований, соответствующих транзитивному действию (локальной) группы Ли G(M) на обсуждаемом однородном многообразии.

32

Факт касания таким полем обсуждаемой однородной поверхности M записывается (c одним изменением по сравнению с вещественным случаем) в виде основного соотношения

где = (z1; z1; z2; z2; z3; z3) - вещественнозначная определяющая функция обсуждаемой поверхности.

Алгебры аффинных векторных полей удобно представлять в матричной форме, сопоставляя векторному полю (1.42) матрицу

Подчеркнем, что элементы введенных матриц (коэффициенты векторных полей) являются, вообще говоря, комплексными числами, тогда как алгебра таких полей рассматривается над полем вещественных чисел R.

Пример 8. Алгебра Ли, соответствующая трубчатой поверхности в пространстве C2 над аффинно-однородной кривой y = x , получается за счет модификации одномерной алгебры из примера 4.

Соблюдая общность обозначений, зададим обсуждаемую трубку уравнением

Тогда помимо растяжений

z = tz; w = t z (t > 0);

по сути повторяющих формулы (1.41), поверхность (1.45) сохраняют однопараметрические группы сдвигов по переменным y = Imz и u = Rew:

z = z + ir; w = w + s; r; s 2 R:

В итоге алгебра Ли, отвечающая вблизи любой точки (x0 + iy0; u0 + ix0 ) 2 C2; x0 > 0 поверхности (1.45), имеет (в матричной форме) базис

Основой для получения значительной части излагаемых в монографии результатов, послужило изучение алгебр Ли, состоящих из матриц вида

33

(1.44) и удовлетворяющих основному соотношению (1.43). При этом использование уравнений, аналогичных введенным в §1.2, позволяет получать конструктивные выводы как об изучаемых алгебрах, так и о соответствующих этим алгебрам однородных поверхностях.

Пусть, например, однородная поверхность M задана каноническим уравнением вида (1.29), разрешенным относительно вещественной переменной v:

X

v = Fk(z; z; u) = F2 + F3 + ::::

Левая часть уравнения (1.46) является аналитической функцией от переменных z; z; u. Тождественное равенство нулю такой функции означает выполнение (бесконечно) большого количества ограничений на обсуждаемую поверхность и векторные поля на ней.

Именно изучение этой информации позволило получить практически все классификационные результаты, излагаемые ниже. Тождество (1.43) (в соответствии с его названием), а также его следствия являются базой наших рассмотрений на протяжении всей книги.

Например, отделяя компоненты младших весов в тождестве (1.46), получим систему нескольких уравнений:

34

Замечание. В уравнениях (1.47) - (1.51) производные @Fn=@u можно

^

заменить на @Fn@u:

Отметим, что в этих уравнениях связаны элементы матрицы (1.44), отвечающей векторному полю (1.42), и слагаемые канонического уравнения (1.29) изучаемой поверхности. Рассмотрение именно этих уравнений позволяет получать интересующие нас выводы об однородности.

Для удобства дальнейших обсуждений выделим в матрице (1.44) ее левый верхний (2x2)-блок, обозначая его через

У элементов матрицы e будем при необходимости выделять вещественные и мнимые части, полагая

ReA1 = A11; ImA1 = A12; ReA2 = A21; ImA2 = A22;

ReB2 = B21; ImB2 = B22:

При исследовании однородных поверхностей одним из важнейших является вопрос о размерности соответствующих этим поверхностям алгебр (и групп) Ли. Эта размерность равна количеству остающихся "свободными" в уравнениях типа (1.47) - (1.51) параметров - элементов матриц (1.44), а точнее, их вещественных и мнимых частей, вводимых предыдущими обозначениями.

Отметим, что возможны ситуации (соответствующие примеры обсуждаются ниже), в которых одна и та же однородная поверхность допускает разные (в т.ч., по размерности) аффинные подгруппы, каждая из которых действует транзитивно на этой поверхности. Все такие случаи будут ниже специально прокомментированы. При этом, говоря о размерности алгебры векторных полей на однородной поверхности, мы по умолчанию будем иметь в виду максимальную размерность аффинных подгрупп (и соответствующих им алгебр), транзитивно действующих на обсуждаемой поверхности.

35

§1.4. О канонических уравнениях вырожденных по Леви

поверхностей

Рассмотрим теперь случай вырожденной формы Леви у вещественноаналитической гиперповерхности, заданной разрешенным относительно переменной v уравнением (1.17), т.е.

v = f110jzj2 + f200z2 + f020z2 + f101zu + f011zu + ::::

Обсуждаемая фиксированная точка поверхности, по-прежнему, остается началом координат пространства C2. Леви-вырожденность такой поверхности (в начале координат) означает, как уже отмечалось, равенство нулю коэффициента f110.

В такой ситуации компонента веса 2 из уравнения (1.17) упростится и примет вид

f200z2 + f020z2

с комплексно сопряженными друг другу коэффициентами f200 и f020.

Предложение 1.5. Равенство (или неравенство) нулю коэфициента f200 из уравнения

Леви-плоской поверхности является ее аффинно-инвариантным свойством (в обсуждаемой точке).

Как и при доказательстве предложения 1.4, фиксация точки означает возможность рассматривать вместо произвольных аффинных лишь линейные преобразования

Потребуем, как и ранее, сохранения вида уравнения (1.53) и, в частности, его весовой структуры при подстановке формул (1.54) в это уравнение.

Для того, чтобы новое уравнение не содержало в правой части слагаемых веса 1, необходимо, чтобы коэффициент 1 равнялся нулю. Коэффициент 2 должен быть вещественным ненулевым числом в силу отсутствия в компоненте веса 2 того же уравнения (1.53) переменной u. Наконец, заметим, что решение (относительно переменной v) неявного уравнения

2v = f200( 1z + 2w)2 + f020( 1z + 2w)2 + :::

36

c ненулевыми коэффициентами 2; 1; f200 имеет вблизи начала координат вид

Отсюда и следует обозначенная инвариантность.

С учетом предложения 1.5 является корректным следующее определе-

ние.

Определение 6. Леви-вырожденную (в начале координат) поверхность вида (1.53) с ненулевым коэффициентом f200 будем называть поверхностью веса 2.

Замечание. В отличие от доказанного предложения 1.5 одним из главных свойств голоморфной нормальной формы Мозера (в C2) является отсутствие в правой части нормального уравнения

v = F (z; z; u)

вещественной гиперповерхности чисто голоморфных слагаемых zk и их сопряженных выражений. Это свойство обеспечивается возможностью удаления таких слагаемых из правой части голоморфными заменами координат.

Если в уравнении (1.53) некоторой поверхности M выполняется равенство f200 = 0, то естественно говорить, что M имеет вес, больший чем 2. Например, поверхность заданную уравнением

v= (f101zu+f011zu)+(f300z3 +f210z2z +f120zz2 +f003z3)+f002u2 +::: (1:55)

сненулевым коэффициентом f101, будем называть поверхностью веса 3. Соответственно, поверхность с уравнением

k 5

и ненулевым коэффициентом f002 назовем поверхностью веса 4.

Заметим, что формально вес 3 могут иметь и (Леви-плоские в начале координат) поверхности с нулевым коэффициентом f101 в уравнении (1.53), если ненулевые коэффициенты имеет многочлен

F3(z; z) = f300z3 + f210z2z + f120zz2 + f003z3

из этого же уравнения. В то же время для изучения аффинно-однородных поверхностей такая ситуация не представляет интереса. В самом деле, сдвиг z ! z + a в близкую к началу координат точку приводит к появлению в

37

уравнении поверхности ненулевых коэффициентов при слагаемых младших весов, например, при jzj2 или z2. Для аффинно-однородных поверхностей такое невозможно.

Аналогичное замечание относится и к поверхностям веса 4, содержащим, например, ненулевой многочлен от переменных z; z степени 4.

Ясно, что, в принципе, можно ввести понятие вырожденной по Леви поверхности любого конечного веса. Однако в задаче об однородности оказывается достаточно уже введенных весов 2, 3 и 4 в силу следующего утверждения.

Предложение 1.6. Если в уравнении

v = F2 + F3 + F4 + :::;

из компоненты веса 1 основного тождества, выписанной для произвольного векторного поля на M, т.е. из (1.48), следует, что равен нулю параметр B1 такого поля. При тех же условиях (1.57) компонента веса 2 (уравнение (1.49)) превращается в равенство

Re(iB2u) = 0;

Это равенство означает в точности обращение в ноль мнимой части B22 = ImB2 параметра B2 произвольного векторного поля, касательного к M.

Компонента веса 3, т.е. уравнение (1.50), в этой ситуации содержит всего два слагаемых и имеет вид тождества

при k = 3 и свободных параметрах p 2 C; q 2 R.

Завершает доказательство предложения 1.6 следующее достаточно простое утверждение.

(0) ^

ЛЕММА 1. Пусть k 3, а F k+1; Fk+2 - пара фиксированных вещественных многочленов, удовлетворяющая договоренностям §1.2. Тогда из тождества (1.58), выполняющегося при произвольных p 2 C; q 2 R, следует, что

38

Для доказательства этой леммы заметим, что при свободных параметрах p; q следствиями (1.58) являются два отдельных тождества

^

Так как Fk+2(z; z) по определению не содержит слагаемых, свободных от переменной u, то второе из тождеств (1.60) означает, что этот многочлен равен нулю.

Из тождественного равенства нулю его производной по переменной z

следует, что

Fk(0)+1(z; z) = f0;k+1zk+1;

тогда как первые k + 1 коэффициентов разложения (1.61) равны нулю. Но в силу вещественности многочлена Fk(0)+1 имеем равенство

f0;k+1 = fk+1;0 = 0;

завершающее доказательство леммы 1.

Индуктивное применение этой леммы к упрощенному (за счет обращения в нуль младших коэффициентов) уравнению (1.17) приводит к утверждению о тождественно нулевых весовых компонентах Fk(k 3) канонического уравнения обсуждаемой однородной поверхности. Тем самым, эта поверхность, действительно, имеет уравнение v = 0, и предложение 1.6 доказано.

Учитывая предложение 1.6, а также возможность несложных упрощений отдельных коэффициентов для уравнений типа (1.17) за счет растяжений координат, получаем следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 1.11. Имеется 5 типов аффинно-различных уравнений вида (1.17) для семейства аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства C2:

k 4

39

Первый тип соответствует невырожденным поверхностям, свойство однородности для которых будет изучено в главе 2. Пятый, тривиальный, тип можно назвать типом бесконечного веса. Остальные три типа будут изучены в главе 3. Соответствующие этим типам уравнения (1.63) - (1.65) будем называть каноническими уравнениями Леви-плоских аффинно-однородных поверхностей конечного веса.

Заметим, что, как и в случае невырожденных поверхностей, за счет аффинных преобразований возможны дополнительные упрощения некоторых коэффициентов из канонических уравнений. Подробности таких дополнительных упрощений будут отдельно рассматриваться (там, где это возможно) при изучении однородности для поверхностей каждого конкретного веса.

§1.5. Схема исследования однородности с помощью

канонических уравнений

Новые классификационные результаты монографии (теоремы 1.3 и 1.4) получены на основе использования понятия аффинного канонического уравнения изучаемых многообразий.

Мы рассматриваем всякую аффинно-однородную вещественную гиперповерхность пространства C2 вблизи ее фиксированной неособой точки. Эту точку мы переводим сдвигом в начало координат пространства и далее приводим уравнение поверхности к аффинному каноническому виду. В зависимости от того, имеет ли поверхность вырожденную или невырожденную форму Леви, используется одна из двух введенных выше модификаций понятия канонического уравнения поверхности.

В силу однородности обсуждаемой поверхности M на ней имеется большая алгебра аффинных векторных полей, касательных к M. Для каждого из таких полей выполняется введенное выше основное тождество. Далее наша схема выглядит следующим образом:

1) сначала из основного тождества мы получаем некоторые ограничения на коэффициенты канонических уравнений и параметры векторных полей, касательных к изучаемым поверхностям;

40