Методическое пособие 247

Takagi // Osaka J. Math. – V. 19 (1973). – P. 495 - 506.

87.Туманов, А.Е. Геометрия CR-многообразий /А.Е. Туманов // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.- М.: ВИНИТИ.-1986.- Т.9.- С. 225 - 246.

88.Fels, G. Classification of Levi degenerate homogeneous CR-manifolds in dimension 5 / G. Fels, W. Kaup // Acta Math. – V. 210(2008). – P. 1 - 82.

89.Vrancken, L. Degenerate homogeneous surfaces in R3 / L. Vrancken // Geom. Dedic.

–V. 53 (1994). – P. 333 - 351.

90.Фукс, Б. А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных / Б.А. Фукс.- М., Физматлит, 1963.- 428 с.

91.Хелгасон, C. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства/ С. Хелгасон, М.: Мир, 1964.- 536 с.

92.Chern, S. S. Real hypersurfaces in complex manifolds/ S. S. Chern, J. K. Moser //Acta Math. – 1974 – 133, N 3. – P.219 - 271.

93.Чирка, Е.М. Введение в геометрию CR-многообразий /Е.М. Чирка // УМН, 46:1(277) (1991).- С. 81-164.

94.Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат.- М.: Наука, 1976. - 2-е изд., т. 2 - 400 с.

95.Sharipov, R., On CR-mappings between algebraic Cauchy-Riemann manifolds and separate algebraicity for holomorphic functions / R. Sharipov, A. Sukhov // Trans. of the Amer. Math. Soc.- V. 348.- N 2. 1996. - P. 767 - 780.

96.Широков, А.П. Аффинная дифференциальная геометрия / Широков А.П., Широков П.А. - М.: Физматгиз, 1959. - 319 с.

97.Yang, P.C. Automorphisms of tube domains/P.C. Yang // Amer. J. Math. V. 104(1982), P. 1005 - 1024.

131

Приложение 1 Схема коэффициентной классификации

однородных гиперповерхностей в C2

I. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ(3 dimR g(M) 5)

Каноническое уравнение произвольной невырожденной по Леви гиперповерхности имеет вид

X

v = jzj2+"(z2+z2)+i (z z)u+(f300z3+f210z2z+f120zz2+f030z3)+ fklmzkzlum;

k 4

где

"0; 2 f0; 1g:

1.Поверхности с нулевой квадратичной частью в уравнении

"= 0; f101 = i = 0:

В этом случае

2.Поверхности трубчатого типа

"= 1=2; f101 = i 2 fi; 0g; if210 2 R:

= 1 - нет однородных поверхностей;

= 0. Тогда f002 2 f 1; 0; 1g

2.1.f002 = 1 - нет однородных поверхностей;

2.2.Случаю f002 = 1 соответствует 1-параметрическое семейство однородных поверхностей

132

p

спараметром B = 3 2f102=2:

2.3.В случае f002 = 0 можно считать, что

f210 2 fi; 0g:

133

- жесткие обобщения логарифмических спиралей

1.2. Случаям

f002 6= 0 или f201 6= 0

соответствуют обобщения логарифмических спиралей

не допускающие жестких уравнений.

В частности, равенству f002 = 0 отвечают поверхности (2) с A = 2.

Замечание. Формулы, описывающие семейства (4.12) и (4.13), являются "естественными" обобщениями аналогичных формул (4.5) и (4.4). Однако с коэффициентной точки зрения семейства (4.12) и (4.5) (и, соответственно (4.13) и (4.4)) соответствуют разным типам однородных многообразий.

II.ЛЕВИ-ПЛОСКИЕ ОДНОРОДНЫЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ

1.Поверхности веса 2 (3 dimR g(M) 4 )

k 4

В зависимости от значений коэффициентов f300; f201; = f002 имеется несколько типов поверхностей.

1.1. f300 = f201 = f002 = 0

134

k 4

Здесь все однородные поверхности принадлежат (с точностью до аффинной эквивалентности) 3-параметрическому семейству (4.19). Наиболее

Ее алгебра g(M) имеет размерность 5. Любая другая поверхность веса 3 эквивалентна либо конусу, либо одному из "билефельдских вееров"

Упоследних поверхностей алгебра g(M) трехмерна.

3.Поверхности веса 4

Любая однородная поверхность веса 4 – это поверхность с уравнением

k 3

являющаяся произведением одной комплексной плоскости на логарифмическую спираль (заданную каноническим уравнением) из другой комплексной плоскости. Алгебра g(M) для любой такой поверхности является 7-мерной.

4. Поверхность бесконечного веса

Здесь имеется единственная с точностью до аффинных преобразований однородная поверхность, а именно вещественная гиперплоскость с (каноническим) уравнением

v = 0:

135

Приложение 2

Матричные алгебры Ли однородных поверхностей

Ниже приводится список матричных алгебр Ли, соответствующих каноническим уравнениям аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства C2.

Номера формул в этом приложении совпадают с нумерацией основного текста.

I.НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ(3 dimR g(M) 5)

1.Поверхности с нулевой квадратичной частью

1.2.dimR g(M) = 4. Параметр = f002 = 1:

a)= 1 : алгебра сферы jzj2 + jwj2 = 1,

b)= 1 : алгебра гиперболоида jzj2 jwj2 = 1:

01

i 0 0

1.3. dimR g(M) = 3 реализуется только на подалгебрах алгебр (2.9) и (2.17).

136

2.Поверхности трубчатого типа " = 1=2

2.1.dimR g(M) = 4. Алгебра трубчатой квадрики v = 2x2

2.2.dimR g(M) = 3.

a)Обобщения логарифмических спиралей

Re(zw) = jzjeB arg z; B 2 R;

не допускающие жестких уравнений.

p

где - вещественный параметр, t = 2.

б) Жесткие обобщения логарифмических спиралей

v = jzjeB arg z; B 2 R; = 43B:

где = f400 = 1; t 2 R:

137

Остальные 3-мерные алгебры в этом случае являются подалгебрами алгебры (2.57).

3.Поверхности общего положения 0 " 6= 1=2

3.1.dimR g(M) = 4. Алгебра квадрики

3.2. dimR g(M) = 3

a) жесткие обобщения логарифмических спиралей (общего положения)

где = Re(f210="); = Im(f210="):

б) Обобщения логарифмических спиралей

Re(zw) = jzjAeB arg z; A 2 R n f1g; B 2 R; z 6= 0;

138

2 f1; 0; 1g; (1 2")x2 + (1 + 2")y2 = 16 :

Замечание. С точки зрения алгебр Ли выделение семейства поверхностей трубчатого типа из общих рассмотрений оправдывается лишь наличием в этом семействе трубчатых поверхностей. Алгебры Ли из пп. 2.1, 2.2.а) и 2.2.б), отвечающие поверхностям трубчатого типа, являются "естественными" включениями в семейства алгебр общего случая 3.

II. ЛЕВИ-ПЛОСКИЕ ОДНОРОДНЫЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ

1. Поверхности веса 2 ( 3 dimR g(M) 4)

1.1.dimR g(M) = 4 - алгебра Леви-вырожденной квадрики v = z2 +z2

сбазисом

1.2.dimR g(M) = 3

1.2.1.3-параметрическое семейство коммутативных алгебр (с параметрами arg(f300); r; ):

Частные случаи связаны с наличием присоединенных векторов у базисной матрицы E1.

139

где A = ei ; ( 2 ( =4; =4]), имеет в качестве интегрального многообразия поверхность

в) в остальных случаях алгебрам из 3-параметрического семейства (3.36) соответствуют поверхности

jzjA1 jwjA2 = earg(zB1 wB2 ); (A1; A2; B1; B2) 2 RP3:

1.2.2. 2-параметрическое ( 3; 2 R ) семейство алгебр с базисом

соответствует 1-параметрическому семейству поверхностей

2. Поверхности веса 3. ( 3 dimR g(M) 5)

2.1.dimR g(M) = 5 (алгебра конуса jzj2 jwj2 = 0)

140