Методическое пособие 247

проходящую через точку 1 2 C .

Наконец, при = =4 коэффициент оказывается вещественным (спираль выпрямляется).

В случае простого спектра у матрицы E1 из базиса (3.36) (или, что то же самое, (3.50))

это 3-параметрическое семейство алгебр разбирается достаточно просто.

Предложение 3.15. В случае простого спектра у матрицы E1 из базиса (3.36) алгебра с таким базисом аффинно-диагонализируема.

Для доказательства обозначим через ! один из квадратных корней из ненулевого комплексного числа A2 + 16iB:

Тогда непосредственная проверка показывает, что подобие с матрицей

диагонализирует любую из рассматриваемых алгебр, переводя базис (3.50)

в

где 1; 2 - собственные значения матрицы E1, взятые в произвольном порядке

В силу предложения 3.3 из начала главы этим доказывается важное следствие.

Следствие. В случае простого спектра у матрицы E1 из базиса алгебры (3.36) соответствующая алгебре аффинно-однородная поверхность аффинно эквивалентна одной из поверхностей 3-параметрического семейства (3.2).

Завершая этот параграф, остается заметить, что три семейства (3.38) (при r = 1) и (3.41) имеют вид (3.50). При этом условие r = 1 (семейства (3.38)) означает, что матрица E1 имеет простой спектр. Тогда в силу только что полученного следствия любой алгебре из этих двух семейств соответствуют поверхности из 3-параметрического семейства (3.2). То же

111

самое справедливо и относительно поверхностей семейства (3.41), отвечающих ненулевым значениям параметра .

Наконец, при = 0 формулы (3.41) задают тот же базис, что и формулы (3.40) при дполнительном условии 3 = 0. В этом случае алгебра (3.41) является подалгеброй (3.27), а потому ей соответствует аффиннооднородная квадрика (3.15).

Теорема 3.1 полностью доказана.

Замечание. Можно еще проверить, что все построенные в этой теореме поверхности являются именно теми поверхностями, которые разыскивались в каждой конкретной ситуации. Для этого необходимо привести уравнение каждой из этих поверхностей к каноническому виду и убедиться, что, например, коэффициент f300 имеет для них требуемый вид.

Эти вычисления мы здесь не приводим.

§3.3. Поверхности веса 3

Основным результатом данного раздела является следующее утвержде-

ние.

ТЕОРЕМА 3.2. Любая аффинно-однородная вырожденная по Леви гиперповерхность веса 3 пространства C2 аффинно-эквивалентна вблизи любой своей неособой точки одной из поверхностей 3-параметрического семейства (3.2).

3.3.1. Размерность алгебры g(M) для однородных

поверхностей веса 3

Как и в случае поверхностей веса 2 здесь также предлагается рассмотреть младшие (до веса 4) компоненты основного тождества. Так получаются следующие формулы для поверхностей веса 3:

112

Эти формулы означают, что семь из восьми вещественных параметров, составляющих комплексную 2x2-матрицу

выражаются через (p; q) и параметр B21. Свободными параметрами в алгебре g(M) векторных полей на однородной поверхности M могут быть помимо сдвиговых компонент (p; q) лишь коэффициенты A22 и B21 матрицы (3.68).

Следовательно, имеется оценка

3 dimR g(M) 5

для однородных поверхностей из этого случая.

Предложение 3.16. С точностью до аффинных преобразований существует единственная Леви-плоская гиперповерхность веса 3, имеющая 5-мерную алгебру g(M) в любой своей неособой точке. Эта поверхность -

конус (3.13), т.е.

jzj2 jwj2 = 0;

а базис вида (1.44) соответствующей алгебры имеет вид:

Схема доказательства этого предложения аналогична предыдущим рассуждениям. Из общей матрицы

получаемой с учетом формул (3.64)-(3.67) и равенства

A2 = ( 1=2) (f002B21 + (f102p + f012p) + 3f003q) + iA22;

формируются пять гипотетических базисных матриц E1; :::; E5, соответствующих простейшим наборам параметров (p; q; A22; B21), т.е

(1; 0; 0; 0); (i; 0; 0; 0); (0; 1; 0; 0); (0; 0; 1; 0); (0; 0; 0; 1):

113

Настоящий базис (3.69) появляется из проверки условий замкнутости линейной оболочки матриц E1; :::; E5 относительно скобки. Всего имеется 10 = C52 таких попарно различных скобок для пяти базисных матриц. В процессе упомянутой проверки устанавливаются коммутационные соотношения в изучаемой 5-мерной алгебре:

[E1; E2] = [E1; E3] = [E1; E4] = [E1; E5] = 0;

[E2; E3] = 2E3; [E2; E4] = 2E4;

[E2; E5] = 0; [E3; E4] = E2 2E5; [E3; E5] = E3; [E4; E5] = E4:

Далее остается проинтегрировать алгебру (3.69). Система уравнений в частных производных, отвечающих полям (3.69), имеет вид:

с произвольной аналитической функцией G(X; y). Подстановка (3.72) в третье уравнение системы приводит к формуле

(1 2y)G 2x = 0;

означающей, что решением всей системы (5.34) может быть только функция

Легко проверяется, что найденная функция (3.73) удовлетворяет и всем остальным уравнениям обсуждаемой системы (первому, второму и четвертому). Остается заметить, что уравнение

v = 12xu2y;

получаемое из (3.73), можно записать в виде

2xu + v(2y 1) = 0:

После аффинного преобразования z ! (z + i=2); w ! w получаем здесь xu + yv = 0 или

114

Еще одной линейной заменой координат в пространстве C2 последнее уравнение превращается в уравнение конуса (3.13).

Предложение 3.16 доказано.

Замечание. Выше уже говорилось, что конус является одной из линей- но-однородных поверхностей 3-параметрического семейства (3.2). Переход от алгебры (3.69) к алгебре, акцентирующей это свойство конуса, осуществляется например, подобием, с матрицей

состоящей из собственных векторов матрицы E1 из (3.69). При этом весь набор (3.69) примет вид

Далее мы рассмотрим возможные меньшие размерности для алгебр в этом случае. Для упрощения работы с матрицами вида (3.70), составлящими такие алгебры (любых размерностей), введем новые параметры, полагая

= f002; = Ref102; = Imf102; = f003:

3.3.2.Однородные поверхности с 4-мерными алгебрами g(M)

Интересуясь всеми возможными 4-мерными алгебрами требуемого вида (3.70), отметим, что мы уже имеем много информации о трех первых базисных матрицах такой алгебры, отвечающих стандартной тройке наборов (p; q), т.е. (1; 0), (i; 0), (0; 1). Остается лишь учесть возможные ненулевые значения параметров B21 и A22 в этих матрицах.

У четвертой базисной матрицы гипотетической алгебры последний столбец можно считать нулевым. Тогда в соответствии с (3.37) она должна иметь вид

115

При этом W4 и N4, равные, соответственно, значениям параметров B21 и A22 в матрице E4 - вещественные числа. Для упрощения обсуждений мы рассмотрим здесь два случая, связанные с парой чисел (W4; N4).

Прежде всего заметим, что пользуясь возможностью вещественного масштабирования ненулевой базисной матрицы E4, можно считать, что W4 равно либо нулю (и тогда N4 6= 0), либо любому конкретному ненулевому числу, например, 2. Той же процедурой масштабирования можно в первом случае упростить N4 и превратить этот коэффициент в единицу.

Таким образом, матрица E4 любой изучаемой гипотетической алгебры может быть приведена к одному из двух видов:

Пользуясь уточненной информацией о матрице E4, мы теперь можем внести изменения и в матрицы E1 E3. Учитывая сказанное выше, можно сформулировать следующее утверждение. Оно представляет собой сокупность необходимых условий на алгебру, удовлетворяющую обозначенным выше свойствам (4-мерная алгебра g(M) и вес поверхности, равный 3).

Предложение 3.17. 4-мерная алгебра, отвечающая однородной поверхности веса 3, может иметь базис лишь одного из двух видов (b1 ,b2, b3; N1, N2, N3, N4 - некоторые вещественные параметры):

116

Подчеркнем еще раз необходимый характер условий (3.76) и (3.77). Теперь предлагается рассмотреть все попарные скобки матриц (3.76) и, соответственно, (3.77) и выяснить: при каких значениях входящих в них параметров линейные оболочки наборов таких матриц образуют матричные алгебры Ли ?

Предложение 3.18. Если линейное пространство с базисом (3.76) или (3.77) является матричной алгеброй Ли, то базис такой алгебры можно представить в одном из двух следующих видов:

1 случай (базис (3.76), b = b1):

Следующий шаг состоит в выяснении вопроса о возможных подобиях друг другу полученных матричных алгебр и о виде таких матриц, более удобном для интегрирования.

Предложение 3.19. При любых значениях параметров ; N алгебра Ли с базисом (3.79) подобна алгебре g =< E1; E2; E3; E4 > с матрицами

Для доказательства предложения 3.19 используется приведение к жордановой нормальной форме матрицы E3 из (3.79), имеющей собственные значения

N + i ; N + i ; 0:

117

В связи с этим интерес представляют два случая:

1)N 6= 0 : спектр E3 - простой.

2)N = 0 : E3 имеет кратные собственные значения и только два собственных вектора.

Если N 6= 0, то преобразование подобия с матрицей

Легко видеть, что с точностью до линейных комбинаций такой базис совпадает с набором (3.80).

Во втором случае в качестве матрицы подобия можно использовать

0 1

=2 i=2 i=2

S = @ 1 0 0 A:

00 1

При этом матрицы E1; E2 диагонализируются, а E3 и E4 превращаются, соответственно, в

Алгебра с таким базисом также совпадает с линейной оболочкой матриц (3.80).

Предложение 3.19 доказано.

Предложение 3.20 Независимо от параметра любая алгебра Ли с базисом (3.78) подобна алгебре g =< E1; E2; E3; E4 > с матрицами

118

(с тем же значением параметра b).

Для доказательства отметим, что при = 0 диагонализация матрицы E2 сразу переводит обсуждаемую алгебру (3.78) в подобную ей алгебру (3.819).

При 6= 0 ситуация оказывается несколько сложнее предыдущего случая. Например, упомянутая выше диагонализация матрицы E2 не обеспечивает одновременного приведения всего набора (3.78) к удобному виду. Здесь вместо базиса (3.78), возникающего при изучении канонических уравнений однородных поверхностей, рассмотрим базис

превращает набор матриц (3.82) в базис (3.81).

Для завершения описания однородных поверхностй требуемого типа с 4-мерными алгебрами g(M) остается сослаться на следующий достаточно простой факт.

Предложение 3.21 Интегральной поверхностью, отвечающей любой из 4-мерных алгебр (3.80), (3.81), является (с точностью до аффинной эквивалентности) конус

Re(zw) = 0:

Для доказательства достаточно заметить, что любая из обсуждаемых алгебр подобна некоторой 4-мерной подалгебре алгебры конуса.

В самом деле, для матриц (3.80) (отмеченных звездочкой во избежание путаницы) имеем следующие выражения через пять базисных матриц алгебры конуса (3.69):

E1 = 12E1; E2 = E5; E3 = 12E2 E5; E4 = 12E3:

119

Аналогично, для алгебры (3.81)

E1 = E1 2bE2; E2 = 12E2 2E5; E3 = 12E3; E4 = E4:

В силу уже использовавшихся обсуждений это означает требуемое.

Замечание. Разумеется, утверждение предложения 3.21 можно получить как непосредственным интегрированием системы уравнений в частных производных, так и через рассмотрение одно-параметрических групп, отвечающих базисным матрицам полученных выше алгебр.

3.3.3. Однородные поверхности с 3-мерными алгебрами g(M)

В этом случае любое линейное векторное поле, касательное к обсуждаемой однородной поверхности M, имеет тот же вид (3.70). В качестве базисных матриц мы, как обычно, рассмотрим матрицы, отвечающие стандартным наборам (p; q): пара (1; 0) образует сдвиговый вектор поля (матрицы) E1, вектор (i; 0) отвечает матрице E2, и, наконец, вектор (0; 1) связан с матрицей E3.

При этом параметры B21, A22 таких полей принимают в трех базисных матрицах E1; E2; E3 обсуждаемой алгебры некоторые числовые значения. Пусть

1; 2; 3

- это значения параметра A22 в матрицах E1; E2; E3 соответственно, а

1; 2; 3

-значения параметра B21 в тех же матрицах.

Втакой ситуации предлагается выяснить вопрос о различных 3-мерных матричных алгебрах, состоящих из матриц вида (3.70). Как и ранее, предлагаемый вид базисных матриц оказывается весьма жестким ограничением на обсуждаемые алгебры.

Рассмотрение скобок "базисных" матриц, детали которого мы не приводим, позволяет получить здесь следующее утверждение.

Предложение 3.22. Если набор матриц (3.70) является базисом 3- мерной матричной алгебры Ли g, то с точностью до матричного подобия g совпадает с одной из алгебр g =< E1; E2; E3 > следующего списка:

120