Методическое пособие 247

2.3.4. Оценка размерности алгебры g(M) для поверхностей

трубчатого типа

До сих пор при обсуждении поверхностей трубчатого типа мы не затрагивали вопрос об общей для этого типа оценке размерности алгебры g(M). Теперь мы такую оценку зафиксируем и конкретизируем. Но сначала отметим, что в уже рассмотренных подслучаях основного условия " = 1=2 эта размерность равнялась 3.

Продолжая построение коэффициентной классификации однородных

В такой ситуации основная система девяти уравнений приводит к существенному упрощению как многих других коэффициентов канонического уравнения, так и матричного представления алгебры g(M). Например, справедливо следующее утверждение.

Предложение 2.11. Если для коэффициентов канонического уравнения аффинно-однородной вещественной поверхности трубчатого типа

то для коэффициентов f400; f201; f102; f003 этого же уравнения справедливы также дополнительные ограничения

Для доказательства этого утверждения рассмотрим 4 уравнения из основной системы, а именно (3,0,0)-, (2,1,0)-, (1,0,1)- и (0,0,2)-уравнения. В обсуждаемых условиях они имеют вид

Последнее из них позволяет сделать вывод о равенстве нулю всех входящих в него коэффициентов канонического уравнения и, в частности, f102.

71

Тогда (1,0,1)-уравнение упростится до

Выше мы уже использовали одно из свойств канонических уравнений для поверхностей трубчатого типа, а именно, равенство f300 = f210, полученное в предложении 2.5. Теперь напомним, что согласно этому предложению, для обсуждаемых поверхностей выполняется еще одно условие на коэффициенты

f111 = 2Re(f201):

Подставляя это условие в (2.51) и учитывая вещественность A21, приходим к выводу о вещественности и коэффициента f201:

Теперь рассмотрим два оставшихся уравнения из выписанной четверки. Отделяя в них мнимые части, получим:

Подставляя одно в другое уравнения (2.52), придем к условию

Im(( 12f400 2f220 + 3f310 + 3f310)p ( 3f301 + f211)q) = 0:

Из такого равенства следует, что оба коэффициента перед p и q в нем равны нулю. В свою очередь заметим, что мнимая часть выражения

12f400 2f220 + 3f310 + 3f310;

являющегося первым из этих коэффициентов, равна

12Imf400:

Это означает справедливость утверждения о вещественности коэффициента f400: Предложение 2.11 доказано.

Предложение 2.12. Размерность алгебры g(M) для аффинно однородной гиперповерхности трубчатого типа пространства C2 удовлетворяет оценке

dimR g(M) 4:

72

Для доказательства рассмотрим (1,0,0)-, (2,0,0)-,(0,0,1)-, (3,0,0)- и (1,0,1)- уравнения основной системы.

Из (1,0,0)-уравнения выражается через p; p; q параметр B1 любого векторного поля из алгебры g(M). Из (3,0,0)- и (1,0,1)-уравнений выражаются, соответственно, A22 = ImA2 и A21 = ReA2.

Из (2,0,0)-компоненты основной системы параметр A1 выражается через набор p; p; q и B21 = ReB2, а из (0,0,1)-компоненты получается формула для B22 = ImB2. Это означает, что набором свободных вещественных параметров алгебры g(M) может быть лишь четверка (p; p; q; B21) либо стандартный триплет (p; p; q).

Предложение 2.13. В пространстве C2 cуществует единственная (с точностью до аффинных преобразований) аффинно-однородная вещественная гиперповерхность трубчатого типа (" = 1=2) c 4-мерной группой G(M) (и алгеброй g(M)). Это - трубчатая квадрика

Доказательство.

Во всех предыдущих рассмотрениях, как мы видели, алгебра g(M) для однородной поверхности могла быть только 3-мерной. Это означает, что 4- мерная алгебра возможна лишь при выполнении рассматриваемых в данном разделе ограничений

на коэффициенты канонических уравнений поверхности.

Эти ограничения позволяют записать "грубую форму" базиса гипоте-

Здесь для простоты во всех задействованных в матрицах коэффициентах канонического уравнения выделены вещественные и мнимые части, т. что

f400 = ; f201 = f310 = m + in; f301 = r + it; ; ; m; n; r; t 2 R: (2:56)

73

Отметим, что подобные формулы можно было выписать и раньше, но без ограничений (2.49) они были бы гораздо сложнее.

Далее традиционное рассмотрение скобок матриц (2.55) приводит к уточнению информации об этом "базисе". И хотя здесь приходится рассматривать, формально говоря, C42 = 6 скобок, последовательное рассмотрение трех самых простых из них дает исчерпывающие необходимые сведения об обсуждаемой алгебре.

Так, рассмотрение скобки [E3; E4] приводит к ограничениям

= 0; r = 0; s = 0:

Подстановка их в скобки [E1; E4] и [E1; E2] дает условия

n = 0; m = 4 ; = 0:

Все вместе полученные ограничения упрощают набор (2.55) до состоя-

ния

Несложно проверяется, что поверхностью, касающейся в начале координат пространства C2 всех полей (2.57), является именно и только квадрика (2.53).

Замечание 1. Доказательство предложения 2.13 можно получить и без обращения к матричным алгебрам, по уже рассмотренной выше (§§1.5, 2.2) схеме обнуления старших коэффициентов канонического уравнения.

Замечание 2. В обсуждаемом случае вещественный коэффициент f400 либо равен нулю, либо его можно привести стандартным растяжением координат в состояние

f400 = 1:

В случае 4-мерной алгебры g(M) этот коэффициент оказался нулевым. После доказательства предложения 2.13 остается вопрос о существовании других поверхностей (с 3-мерными алгебрами g(M)), канонические уравнения которых удовлетворяют ограничениям (2.56) и имеют нулевой коэффициент f400.

Предложение 2.14. Единственной аффинно-однородной вещественной гиперповерхностью трубчатого типа, для коэффициентов канонического уравнения которой выполняются условия (2.56) и f400 = 0, является квадрика (2.53).

74

Доказательство этого утверждения аналогично предыдущему рассмотрению. Предположим, что элементы базисных матриц 3-мерной алгебры вычисляются по схеме предложения 2.11, но параметр B21 в этой алгебре не является свободным. Его значения в трех базисных матрицах обозначим через 2t1; 2t2; 2t3 соответственно. Тогда гипотетический базис такой алгебры (в тех же обозначениях (2.56)) должен иметь вид

Рассмотрение скобок этих матриц приводит (при допущении замкнутости линейной оболочки < E1; E2; E3 > относительно этой операции) к следующему базису алгебры

и коммутационным соотношениям в ней

[E1; E2] = t2E1 + t1E2 4E3; [E1; E2] = 2t1E3; [E1; E2] = 2t2E3:

Легко видеть, что при любых вещественных t1; t2 алгебра Ли с таким базисом является подалгеброй алгебры (2.57). Тогда в силу предложения 1.11 из главы 1 соответствующее любой алгебре (2.59) интегральное многообразие совпадает вблизи начала координат с квадрикой (2.53). Предложение

2.14доказано.

2.3.5. Аффинно-однородные трубки

Оставшийся нерассмотренным случай f400 = 1 является завершающим при изучении невырожденных по Леви аффинно-однородных гиперповерхностей трубчатого типа. Отметим, что во всех предыдущих расмотрениях этого типа у нас появилась лишь одна трубчатая поверхность (2.53). В то же время, в связи с теоремой 1.1 можно предполагать существование большого семейства аффинно-различных аффинно-однородных трубок.

75

Предложение 2.15. Если коэффициенты канонического уравнения аффинно-однородной вещественной гиперповерхности трубчатого типа

то алгебра g(M) для такой поверхности является 3-мерной, а ее базис

Доказательство.

3-мерность алгебры g(M) для обсуждаемой поверхности является следствием предложения 2.13. В "грубой" форме базис такой алгебры отличается от "базиса" (2.58) лишь в двух элементах, учитывающих ненулевой

Вычисление скобок, аналогичное проделанным выше, при доказательстве предложений 2.13 и 2.14, приводит к базису (2.61) В нем для упрощения опущен индекс у параметра t1.

Предложение 2.16. Интегральными поверхностями алгебры (2.61), проходящими через начало координат пространства C2, являются все трубки над аффинно-однородными плоскими кривыми, кроме квадрики (2.53). Параметром этого семейства трубок является (помимо f400 = 1) вещественный коэффициент f500.

Доказательство этого утверждения можно получить любым из двух обсуждавшихся выше методов интегрирования матричных алгебр Ли. Например, допустим (не уточняя детально условия, необходимые для этого), что матрица E1 имеет простой вещественный спектр.

3t b 3t + b

1 = 2 ; 1 = 2 ; 3 = 0:

76

Рассмотрим еще матрицу

состоящую из собственных векторов E1.

Подобие с этой матрицей переводит алгебры с базисом (2.61) в более удобное их представление с новым базисом

Сравнение такой алгебры с алгебрами из примера 7 §1.3 приводит к выводу о том, что изучаемые поверхности в этом случае являются трубками над степенными кривыми.

В других случаях, связанных со спектром и с жордановыми свойствами матрицы E1, аналогичные рассуждения также приводят к трубчатым поверхностям над остальными аффинно-однородными плоскими кривыми из теоремы 1.1.

Мы обсудим здесь еще один достаточно изящный способ доказательства требуемого утверждения, связанный с "частичным" интегрированием алгебр. Этот способ, представляющий собой одну из модификаций коэффициентного подхода к задаче об однородности, был впервые применен, по-видимому, в работе [46].

Во-первых, напомним, что в случае алгебр (2.62), как и во многих уже рассмотренных ситуациях, существование искомых интегральных поверхностей гарантируется теоремой Фробениуса.

Во-вторых, уравнение каждой из таких поверхностей можно считать каноническим. Это связано с тем, что основная система девяти уравнений позволяет определять как параметры векторных полей по известным коэффициентам аналитической поверхности, так и наоборот, коэффициенты уравнения по известным полям.

Конкретизируем сказанное. Касательная плоскость в начале координат пространства C2 к поверхности M, являющейся интегральной для алгебры (2.61), образована векторами

77

Следовательно, она может быть задана уравнением v = 0. Тогда уравнение самой поверхности M имеет весовое разложение вида

Наличие в базисе (2.61) полей E2 = i@=@z и E3 = @=@w означает, что функция F (z; z; u) из (2.64) не зависит от переменных y = Imz; u = Rew.Тогда, например,

F2(z; z) = m2(z + z)2 = 4m2x2; F3 = F3(z; z) = m3(z + z)3 = 8m3x3

с некоторыми вещественными коэффициентами m2; m3.

Две последние формулы по сути подтверждают каноничность уравнения (2.63). Но из уже сказанного вытекает и более важный, третий, вывод об интегральных поверхностях алгебры (2.62): все они являются трубчатыми поверхностями.

Ясно, что все трубки над аффинно-однородными плоскими кривыми (кроме трубки над параболой, имеющей нулевой коэффициент = f400) входят в изучаемое множество интегральных поверхностей алгебры (2.60). Покажем, что и наоборот, все трубки (2.64) имеют основания, содержащиеся в списке теоремы 1.1.

Рассмотрим для этого произвольную трубчатую поверхность

v= F (x)

исвязанное с ней и с полем E1 из (2.61) основное соотношение. В вещественных координатах это соотношение имеет вид ОДУ

78

Применим теперь теорему Коши к ОДУ (2.65). В силу этой теоремы при любой паре ( ; t) существует и притом единственное решение этого уравнения с начальным условием F (0) = 0. Это решение аналитично, а младшие тейлоровские коэффициенты функции F (x) удовлетворяют условиям (2.67).

С другой стороны, согласно формуле (1.3) (глава 1, §1.1) все значения m4 и m5 накрываются (после растяжения координат) трубками над кривыми из теоремы 1.1. Никаких других афинно-однородных трубок в C2 нет.

Уточним теперь информацию о коэффициенте m5 из разложения (2.66). С точностью до ненулевых множителей он совпадает с коэффициентом f500 при мономе z5 в каноническом уравнении изучаемой трубки и с коэффициентом b из уравнения (1.3). Этим замечанием завершается доказательство предложения 2.16.

§2.4. Поверхности общего положения

Завершает классификацию Леви-невырожденных аффинно-однородных гиперповерхностей пространства C2 описание основного класса многообразий, определяемого неравенствами

0 < " 6= 12:

В этом параграфе все обсуждаемые поверхности задаются (каноническими) уравнениями вида ( = 0)

79

+(3f310p + 2f220p + f211q) = 0;

(1,0,1): (2"A2 + A2) + f002B1 + (2f201p + f111p + 2f102q) = 0, (0,0,2): f002B21 + (f102p + f012p + 3f003q) = 0:

Существенная роль в этом параграфе, как и в остальных разделах книги, отводится вопросу об оценке размерности алгебр g(M) для однородных поверхностей. Для полного ответа на него требуется дополнительная информация о коэффициентах канонических уравнений в этом случае.

2.4.1. Опорные коэффициенты уравнения однородной

поверхности

Перепишем необходимые нам здесь уравнения из основной системы в более удобном виде. Отметим при этом, что из (1,0,1)-уравнения можно

Из выписанных (1,0,0)-, (2,0,0)-, (0,0,1)-, (1,0,1)-уравнений этой системы получаются следующие простейшие утверждения о размерности алгебр g(M) в рассматриваемом случае.

Предложение 2.17. В случае поверхностей общего положения все коэффициенты матрицы e из (1.52) однозначно выражаются через параметры p; p; q векторного поля (1.43) и коэффициент B21 той же матрицы e.

Следствие. Для любой аффинно-однородной гиперповерхности общего положения M вида (2.68) размерность алгебры g(M) линейных векторных полей, касательных к M, не превышает 4.

Особую роль при изучении однородных поверхностей общего положения играет следующий опорный набор коэффициентов

80