Методическое пособие 247

из таких условий можно получить следующие ограничения на входящие в (3.29) параметры:

В качестве первого подслучая мы разберем ситуацию, в которой

Замечание. В этой ситуации растяжением переменных коэффициент f300 = + i можно поместить, например, на единичную окружность: f300 2 S1. Более того, дугу единичной окружности, достаточную для рассмотрения всех поверхностей из этого случая, можно сделать весьма малой. В самом деле, замена z ! z сохраняет вид уравнения

но изменяет знак коэффициента f300 в нем. Следовательно, можно вместо полной окружности

S1 = fei; 2 [0; 2 )g

рассматривать лишь ее половину (расположенную в любом месте, например,

2 ( =2; =2].)

Еще одна замена z ! iz; w ! w также сохраняет вид (3.33), но превращает f300 в if300. Комбинируя замены двух этих типов, всегда можно добиться выполнения условия

Предложение 3.8. В случае m = 0; n = 0; f300 6= 0 существует семейство (коммутативных) матричных алгебр с базисами вида (3.29), зависящее от 3-х вещественных параметров

(3:36)

101

Если при m = 0; n = 0; f300 = 0 отличен от нуля коэффициент r = Ref102, то его можно сделать за счет сжатия переменных равным 1.

Предложение 3.9 В случае m = 0; n = 0; f300 = 0; r = Ref201 = 1

выполняются дополнительные ограничения

Замечание. Формально (3.38) совпадает с (3.36) при подстановке f300 = 0. Однако, имеется еще отличие этого случая от (3.36), связанное с условием r = 1, которого не было ранее.

Предложение 3.10. В случае

имеется два типа алгебр с базисами вида (3.29). Базис первого типа имеет вид:

102

Замечание. Базис (3.41) совпадает по форме с (3.38) при условиях

Перейдем теперь к расмотрению второго основного случая, связанного с условием

m2 + n2 6= 0:

Здесь справедливо следующее утверждение.

Предложение 3.11. Базис 3-мерной алгебры (3.29), подчиняющийся условиям f300 = 0; m2 + n2 6= 0; обязан иметь вид

Несложно проверяется, что при любых вещественных m; n матрицы (3.43), действительно, образуют базис 3-мерной алгебры с коммутационными соотношениями

[E1; E2] = nE1 + mE2; [E1; E3] = 2mE3; [E3; E2] = 2nE3: (3:44)

3.2.4. Интегрирование 3-мерных алгебр

Выше нами получены несколько типов 3-мерных алгебр, относящихся

кповерхностям веса 2. Это:

1)3-параметрическое семейство (3.36);

2)три 1-параметрических семейства (3.38) с ограничениями а) (3.37),т.е. r = 1 и б) (3.41), т.е. r = 0;

3)2-параметрическое семейство (3.40);

4)2-параметрическое семейство (3.43).

Теперь необходимо найти интегральные поверхности (орбиты) этих алгебр, проходящие через начало координат пространства C2. При этом, разумеется, интерес представляют лишь новые поверхности, не упоминавшиеся выше.

103

Отметим в связи с этим, что семейство (3.43) не дает новых однородных п товерхностей. Дело в том, что каждая из алгебр этого семейства является подалгеброй 4-мерной алгебры (3.27). Тогда в силу предложения 1.11 из §1.6 интегральным многообразием любой такой алгебры, содержащим начало координат, является известная уже поверхность (3.28), т.е.

v = z2 + z2:

Замечание. Алгебры из 2-параметрического семейства (3.40) являются подалгебрами 4-мерной алгебры (3.28) лишь при нулевом параметре .

При интегрировании семейства (3.40) с ненулевыми значениями параметра возникают определенные трудности. Связано это с тем, что матрица E1 (как и E2) имеет здесь жорданову клетку 3-го порядка. Матрица E3 дигонализируема, но имеет комплексные (с ненулевыми мнимыми частями) собственные значения, что тоже плохо сказывается на интегрировании системы уравнений в частных производных, отвечающих данным алгебрам.

Поэтому мы сначала построим параметрические описания искомых поверхностей, а затем из них получим координатные представления.

Предложение 3.12. При условии 6= 0 интегральными многообразиями алгебры (3.40) являются поверхности

Доказательство.

Рассмотрим вместо алгебры (3.40) подобную ей алгебру, в которой первая базисная матрица E1 имеет жорданов нормальный вид. Это достигается за счет подобия g ! S 1gS с матрицей

где = 3=2 + i .

104

Для новых базисных матриц вычислим экспоненты (t; s; r - вещественные параметры)

Переходя из обсуждаемого пространства C2 в проективное комплексное пространство CP2, будем представлять все точки, близкие к началу координат C2, набором трех координат. При этом третья координата должна быть ненулевой; можно для простоты полагать ее равной, например, единице.

Так мы получаем техническую возможность применять линейные преобразования, заданные квадратными матрицами 3-го порядка, к точкам (векторам) исходного комплексного пространства C2, по сути игнорируя в образе такого преобразования третью координату.

Применяя теперь (в рассмотренном смысле) к точке (0; 0) пространства C2 поочередно преобразования из 3-х выписанных однопараметриче-

В координатах

z = 1 + 8i z; w = 2pi w

(3.48) можно записать (опуская звездочки) в виде e2 r = (z w2):

Логарифмируя полученное уравнение, достаточно теперь выразить параметр r из мнимой части и подставить его выражение в вещественную часть уравнения, получаемого после логарифмирования.

105

Это означает, что (с точностью до аффинных преобразований) мы получаем координатную запись обсуждаемой поверхности в требуемом виде (3.45).

Замечание 1. Поверхности (3.45) - это еще одно обобщение логарифмических спиралей, полученное путем нанизывания на произвольную спираль одномерных комплексных многообразий. В отличие от Билефельдских вееров здесь листы-многообразия являются не плоскими, а "параболически искривленными"(расплавленными от воронежской летней жары 2010 г.). Уравнение отдельного такого листа есть

w z2 = ; произвольная точка спирали fj j = eB arg g C:

Замечание 2. При 1 = Re = 0 мы получаем из (3.45) уравнение алгебраической поверхности 4-го порядка

Обсудим теперь 3-параметрическое семейство алгебр (3.36). Здесь наиболее важным моментом является наличие кратных собственных значений у матрицы E1 из базиса такой алгебры.

Для обсуждаемого базиса

(здесь мы используем упрощенные обозначения A = ( 3=2)e ; B = (r 2i ) 2 C) это возможно в двух случаях:

1)при B = 0 матрица E1 имеет два нулевых характеристических корня

иодно ненулевое собственное значение;

2)при условии A2 + 16iB = 0 (A 6= 0; B 6= 0) матрица E1 помимо простого нулевого собственного значения имеет еще 2-кратный ненулевой характеристический корень и лишь один соответствующий ему собственный вектор.

Впервом случае получаем из (3.36) семейство (коммутативных) алгебр

сбазисом

106

где A = ei; ( 2 ( =4; =4]) - комплексное число с единичным модулем.

Предложение 3.13. С точностью до аффинных преобразований интегральным многообразием любой из алгебр (3.51) является поверхность с уравнением (3.17), т.е.

Замечание. В 3-мерном комплексном пространстве имеется семейство голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностей с 2-мерной группой изотропии, которое по сути "вырастает" из семейства (3.17). Его было

Для доказательства предложения 3.13 заметим, что в обсуждаемой алгебре присутствует поле E3, что означает жесткость искомого уравнения поверхности, т.е. представимость его в виде

v = F (z; z):

Далее заметим, что поля E1; E2 связаны соотношением

E2 = iE1:

Такое свойство изучаемой алгебры позволяет объединить два вещественных уравнения, отвечающие основному тождеству Re(Z( )) = 0 для полей E1

107

Его интегрирование приводит к формуле

С учетом вещественности функции F (z; z) это означает, что (3.54) можно записать в виде

где C 2 R:

С точностью до аффинного преобразования последняя формула совпадает с требуемым уравнением (3.17).

Замечание. Вырожденная по Леви поверхность (3.17) расслаивается

Теперь вернемся к рассмотрению второго случая, нарушающего общность положения матрицы E1 в (3.50), а именно к

Предложение 3.14. При условии (3.55) любое интегральное многообразие алгебры (3.50), аффинно эквивалентно одной из поверхностей семейства (3.18), т.е.

Для доказательства предложения 3.14 напомним, что в этом случае матрица E1 имеет 2-кратное собственное значение A=2 6= 0 и лишь один

0 1

iA

собственный вектор @ 8 A; отвечающий этому значению. Базис

0

108

Напомним, что согласно обсуждениям из §1.6 первой главы подобие алгебр с матрицей (3.57) означает аффинное преобразование координат (с той же матрицей) в пространстве C2. При этом интересующая нас точка пространства C2, а именно, начало координат, переходит в точку

(0; ); = 16A :

Наличие в каждой из матриц (3.58) нулевого "окаймления" для левых верхних 2x2-блоков позволяет при переходе в дальнейшем к экспонентам от этих матриц обсуждать именно левые блоки и использовать в пространстве C2 только их.

В целом экспоненты etE1 ; esE2 ; erE3 (t; s; r - вещественные параметры ) имеют для матриц (3.58) вид

Рассматривая орбиту точки Q(0; ) 2 C2 под действием 3-х однопараметрических групп (3.59), получаем параметрическое представление искомой поверхности в виде

Исключая из формул (3.60) параметры t; s за счет соотношения

t + is = wz ;

можно получить одно (комплексное) уравнение

w = e z=w+Br:

109

Принимая здесь z = и w= за новые переменные (с теми же обозначениями z и w соответственно), получим

w = ez=w+Br:

Выражая из этого уравнения вещественный параметр r, имеем r = B1 (ln w wz ):

Это означает, что уравнение искомой поверхности в координатной форме можно записать следующим образом

С учетом формул, связывающих B и A = e i 2 S1, последнее уравнение преобразуется к требуемому в (3.18) виду

Предложение 3.14 доказано.

Для лучшего понимания ситуации можно убедиться непосредственно в аффинной однородности поверхностей, задаваемых уравнениями (3.61).

Во-первых, такое уравнение сохраняется 2-параметрическим семейством аффинных преобразований

z = tz + (ei t ln t)w; w = tw

при комплексных t, свободно изменяющихся, например, вблизи точки 1.

Кроме того, имеется еще 1-параметрическая группа "растяжений"

пространства C2, также сохраняющих уравнение (3.61).

Это возможно, если комплексный коэффициент "растяжения" удо-

Несложно видеть, что при = 0 уравнение (3.63) задает дугу единичной окружности, а при 0 < j j < =4 - логарифмическую спираль

j j = eD arg ; D = tg(2 )

110