Методическое пособие 247

канонического уравнения (2.68). Из той же основной системы уравнений легко получается следующий факт.

Предложение 2.18. Если хотя бы один из коэфициентов набора (2.70) отличен от нуля, то размерность алгебры g(M) для однородной поверхности M общего положения в точности равна 3.

Для доказательства рассмотрим (2,1,0)-компоненту основного тожде-

ства

+(3f310p + 2f220p + f211q) = 0:

В ней содержится слагаемое

связанное с B21, а все остальные выражения (с учетом приведенных обсуждений и формул (2.69)) линейно выражаются через p; p; q. Коэфициентами при этих свободных параметрах являются комбинации коэффициентов канонического уравнения (2.68) изучаемой поверхности.

Несложно видеть в силу этого, что при f210 6= 0 в (2,1,0)-компоненте основного тождества коэффициент B21 "связывается т.е. также выражается линейным образом через параметры p; p; q. Выписывать точную формулу, которая оказывается весьма громоздкой, нет необходимости.

Аналогично, при ненулевом коэффициенте f002 параметр B21 "связывается" в (0,0,2)-компоненте того же тождества

f002B21 + (f102p + f012p + 3f003q) = 0;

выписанной выше.

Наконец, в случае f201 6= 0 нам потребуется (2,0,1)-компонента веса 4 основного тождества (1.44), т.е. уравнение (1.67). В силу замечания к предложению 1.7 эта компонента имеет в случае поверхностей общего положения вид

С учетом полученной в (2.69) формулы, выражающей A1 через B21 и свободные параметры p; s; q, уравнение (2.71) позволяет и в этом случае выразить B21 через p; s; q.

Предложение 2.18 доказано.

81

В противоположном случае имеет место следующее утверждение.

Предложение 2.19. Если все коэфициенты опорного набора (2.70) из канонического уравнения однородной поверхности M общего положения равны нулю, то поверхность M является квадрикой

v= jzj2 + "(z2 + z2);

аразмерность алгебры линейных векторных полей на M равна 4.

Здесь для доказательства напомним, что выше (см. формулы (1.68) в §1.5) мы уже обсуждали равенства

вытекающие из основной системы при " 6= 0.

В силу первой из формул (1.68) условие f210 = 0 приводит к равенству нулю всего многочлена F3(z; z) из канонического уравнения поверхности M. Вторая из формул (1.68) вместе с условиями f201 = f002 = 0 приводит к

^

выводу F4(z; z; u) = 0.

Кроме того, формулы для элементов матрицы (1.52), получаемые из основной системы в этом случае, приводят к равенстам

A2 = 0; B22 = 0:

Далее для доказательства того, что обсуждаемая поверхность является квадрикой, можно воспользоваться предложением 1.8 из из §1.5.

То, что алгебра линейных векторных полей на ней является в этом случае 4-мерной, непосредственно следует из наличия 4-хпараметрической группы аффинных преобразований этой поверхности. Такую группу порождают 3-параметрическое семейство сдвигов

82

Предложение 2.19 доказано.

2.4.2. Жесткость однородных поверхностей общего положения

Напомним, что уравнение (1.29) называется жестким, если его правая часть не зависит от переменной u. Для каждой отдельной весовой компоненты Fk уравнения (1.29) это означает, что ее разложение

содержит лишь первое слагаемое и превращается в равенство

Рассмотрим свойство жесткости на примере поверхностей общего положения.

Предложение 2.20. Если для коэффициентов канонического уравнения аффинно-однородной поверхности (2.68) общего положения выполняются условия

то эта поверхность жесткая.

Доказывать предложение 2.20 достаточно при выполнении дополнительного ограничения

т.к. случай обращения в ноль этого коэфффицента одновременно с выполнением условий (2.73) рассмотрен в предложении 2.17. Тогда размерность алгебры g(M) можно считать равной 3. "Грубая схема" для базиса такой алгебры принимает в матричной форме вид

83

где D1; D2; r - некоторые вещественные, а T1; T2 - комплексные числа.

Проверка условий замкнутости линейной оболочки матриц (2.75) относительно скобки приводит к ограничению r = 0. Это означает, что матрица E3 имеет в обсуждаемом случае вид

Наличие в алгебре g(M) поля E3 = @=@w означает, как мы знаем, условие жесткости поверхности M. Предложение 2.19 считаем доказанным.

Более детальное рассмотрение скобок для матриц (2.75) приводит к следующему утверждению о 2-параметрическом семействе алгебр.

Предложение 2.21. Пусть для коэффициентов канонического уравнения (2.69) аффинно-однородной невырожденной гиперповерхности M общего положения выполняются условия

f201 = 0; f002 = 0; f210 6= 0:

Тогда алгебра g(M), соответствующая этой поверхности, имеет базис вида

где = Re(f210="); = Im(f210="):

Замечание 1. Коммутационные соотношения в алгебрах (2.76) имеют

вид

[E1; E2] = 4E3; [E1; E3] = 2 E3; [E2; E3] = 2 E3:

Напомним, что (канонический) вид уравнения

v = jzj2 + "(z2 + z2) + :::

сохраняется при растяжениях z ! tz; w ! t2w (t > 0) координат. Так же не изменяет младших слагаемых канонического уравнения (2.68) замена z ! z. Но за счет этих замен можно изменять значение ненулевого коэффициента f210 в уравнении (2.68). В итоге можно считать, что выписанное

84

выше и важное для наших обсуждений отношение

f210" = i ;

как точка комплексной плоскости лежит на верхней (или на нижней) части единичной окружности. При этом имеются две точки, принадлежащие пересечению этой окружности и стандартных координатных осей: 1 и i.

С учетом таких уточнений мы можем теперь предъявить описание всех аффинно-однородных гиперповерхностей пространства C2, соответствующих алгебрам из семейства (2.76). Оно содержится в следующих двух предложениях.

Предложение 2.22. Любая аффинно-однородная гиперповерхность, отвечающая алгебре вида (2.76) c комплексным параметром i , лежащим на одной из координатных осей, аффинно эквивалентна одной из поверхностей

При этом паре = 1; = 0 отвечают значения параметра 2 R n [0; 2] ; для поверхностей с = 0; = 1 справедливы вложения 2 (0; 1) [ (1; 2):

Для доказательства этого предложения в случае = 0; = 1 воспользуемся наличием 3-х собственных векторов у матрицы E2. Подобие Ek ! S 1EkS с матрицей

составленной из этих векторов, переводит исходную алгебру в алгебру с базисом

Отметим, что при этом начало координат, в окрестности которого мы строим интегральную поверхность, смещается, в соответствии с формулой (1.77), в новую точку Q(z0; w0) с ненулевыми координатами z0; v0 = Imw0.

Как обычно, из наличия в обсуждаемой алгебре поля E3 делаем вывод о жесткости соответствующей искомой поверхности. Ее уравнение v = F (z; z) удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям, отвечающим полям

E1; E2.

85

Первое поле представляет собой генератор вращения в плоскости z. Поэтому всякое решение F (z; z) соответствующего дифференциального урав-

нения

y@F@x + x@F@y = 0

зависит только от радиальной переменной r = jzj и имеет вид F = f(jzj) с произвольной аналитической вне нуля функцией f.

Второе уравнение в вещественных координатах имеет вид x@F@x + y@F@y = mF;

где m = 2=(1 + 2").

Его левая часть представляет собой известный дифференциальный оператор r@F =@r, в силу чего любая из искомых поверхностей описывается обыкновенным дифференциальным уравнением

rf0(r) = mf:

Это означает, что уравнение любой интегральной поверхности любой

В итоге либо эта поверхность - плоскость (при C = 0), либо одна из поверхностей (2.77) при = 2=(1 + 2"). Заметим при этом, что случай плоскости v = 0 невозможен для точки Q с ненулевой координатой v0 =

Imw0.

Уточним также , что при 0 < " 6= 1=2 показатель степени в (2.79) принимает любые значения из объединения промежутков (0; 1) [ (1; 2).

Первый случай из обсуждаемого предложения (т.е. = 0; = 1) рассматривается аналогично. Здесь параметр из (2.77) определяется форму-

лой

2= 1 2":

Предложение 2.21 доказано.

Замечание. Вместо непосредственного интегрирования алгебры с базисом (2.78) можно было сослаться на лемму 6 из раздела 2.3.3. Базис (2.78) удовлетворяет условиям этой леммы при C = 2=(1 + 2"); D = 0:

Предложение 2.23. Любая аффинно-однородная поверхность, отвечающая алгебре (2.76) при

86

аффинно эквивалентна одной из жестких поверхностей

v = jzjCeD arg z; C 2 R n f1g; D 2 R n f0g:

В этом случае мы введем для доказательства упрощающие обозначения

A = 1 2"; B = 1 + 2"

и перейдем к подобной алгебре. Здесь мы используем подобие с матрицей

Заметим, что линейные комбинации (с вещественными коэффициентами) двух первых матриц базиса (2.81) превращаются в еще более удобные матрицы

Ссылка на лемму 6 из §2.3 завершает доказательство предложения 2.23.

Замечание 1. Несложно проверить, что обращение в единицу параметра C равносильно равенству 4"2 1 = 0, невозможному для поверхностей общего положения.

Замечание 2. Поверхности, построенные в предложениях 2.21 и 2.22 можно получить, например, как орбиты точки Q(1; i) 2 C2 под действием групп, порожденной экспонентами от соответствующих базисных матриц tE1; sE2; rE3:

87

Непосредственными вычислениями можно проверить, что эти орбиты имеют канонические уравнения, отвечающие требованиям общности положения.

2.4.3. Однородные поверхности общего положения,

не допускающие жестких уравнений

В силу приведенных обсуждений для нахождения остальных однородных поверхностей общего положения (не являющихся жесткими) достаточно рассмотреть два случая, связанных с каноническим уравнением (3.1):

Замечание. Напомним, что в каждом из этих случаев любой ненулевой коэффициент уравнения (2.68) можно подвергнуть вещественному растяжению. В рамках случая 1) будем считать, что f002 = = 1; во втором случае мы применим это соображение к коэффициенту f210 (этот коэффициент, как будет показано, отличен от нуля в рамках проводимых рассмотрений).

Отметим еще, что замена z ! z сохраняет вид уравнения (2.68), но изменяет знак у любого коэффициента нечетной суммарной степени по переменным z; z. В связи с этим мы будем использовать далее условие

в рамках обсуждения случая (2.84).

Из основной системы девяти уравнений в случаях (2.83) и (2.84) соответственно, выводятся следующие два утверждения.

Предложение 2.24. Пусть для коэффициента f002 канонического уравнения (2.68) поверхности M выполняется условие (2.83). Тогда матрицы E1, E2, E3 базиса алгебры g(M), отвечающей такому уравнению поверхности, обязаны иметь вид

88

при некоторых вещественных x; y; = Ref210="; = Imf210="; r = Ref201=2"; s = Imf201=2"; = Re(f102); = Im(f102):

Предложение 2.25. Если для коэффициентов канонического уравнения (2.68) поверхности M выполняются условия (2.84), то базис алгебры g(M), отвечающей такому уравнению поверхности, обязан иметь вид

при некоторых вещественных x; y; ; ; t; r; s; ; :

Далее за счет рассмотрения скобок "базисных" матриц можно уточнить вид E1; E2; E3 из (2.86) и (2.87).

ЛЕММА 7. Линейное пространство с базисом вида (2.86) является алгеброй Ли, тогда и только тогда, когда параметры из этих формул удовлетворяют соотношениям:

= = 0; = 2 r; r = 14"xy; s = 2 ;

При этом базис любой из обсуждаемых алгебр принимает вид

89

а коммутационные соотношения записываются в форме

[E1; E2] = yE1 xE2 4E3; [E1; E3] = [E2; E3] = 0:

ЛЕММА 8. Линейное пространство с базисом вида (2.87) является алгеброй Ли тогда и только тогда, когда

При этом формулы для базиса любой из обсуждаемых алгебр совпадают с формулами (2.89) из предыдущего случая с учетом условия = 0.

Интегрирование алгебр (2.89) приводит к следующим результатам.

Предложение 2.26. Однородные поверхности, отвечающие алгебрам из (2.86) задаются (с точностью до аффинной эквивалентности) уравнениями

при A 2 R n f1; 2g; z 6= 0.

Предложение 2.27. Однородные поверхности, отвечающие алгебрам из (2.87) задаются (с точностью до аффинной эквивалентности) уравнениями

Re(zw) = jzj2eB arg z;

где B 2 R n 0; z 6= 0:

Для доказательства обоих сформулированных предложений рассмотрим поверхность M вида (2.91) с произвольными вещественными A и B и точку Q(z0; w0); z0 6= 0, лежащую на этой поверхности.

Вблизи этой точки на M действуют следующие однопараметрические группы аффинных (и даже линейных) преобразований:

g1(r) = fz = rz; w = rA 1w; r 2 U(1)g; g2(s) = fz = z; w = isz + w; s 2 U(0)g;

90