8720

101

12х1 + 4х2 300

4х1 + 4х2 120

3х1 + 12х2 252

х1, х2 0 3. Суммарная прибыль от реализации х1 изделий А, х2 изделий В составит

F=30х1 + 40х2.

4. Многоугольник решений OABCD в соответствии с п.2 примет следующий вид (рис. 5.6).

x1

Рис. 5.6. Многоугольник решений

5. Последней точкой пересечения прямой F=30х1 + 40х2 по направлению изменения функции прибыли с многоугольником решений является точка В. Координаты этой точки определяют объем выпуска изделий А и В, при котором прибыль от их реализации будет максимальной. Координаты точки В находятся в результате пересечения прямых:

4х1 + 4х2 = 120

3х1 + 12х2 = 252,

из системы уравнений: х1=12 изделий А, х2=18 изделий В, тогда

Fmax=30х1 + 40х2= 30x12 + 40x18=1080 (руб.)

102

5.3.2. Технология нелинейной оптимизации управленческих решений

Большинство задач, возникающих в ходе работы, не могут быть решены с помощью линейных методов оптимизации управленческих решений. Например, иногда затраты в производстве растут не пропорционально и не линейно количеству произведенной продукции. Зная нелинейный закон и условия, ограничивающие объем выпуска различной продукции, можно решить каков оптимальный объем выпуска для производства. При закупке товаров оптом затраты могут также меняться нелинейно в зависимости от объема закупки и количества закупок.

Таким образом, технология нелинейной оптимизации управленческих решений может применяться на практике, как в производственной, так и коммерческой области.

Общих способов, которые подходили бы в любой ситуации, по нелинейной оптимизации не существует. В каждой конкретной задаче метод управленческого решения выбирается в зависимости от вида функции: затрат или доходов, и накладываемых ограничений, например, по количеству продукции, по допустимым затратам, по возможному распределению имеющихся ресурсов.

Чтобы смысл нелинейной оптимизации управленческих решений был понятен, следует рассмотреть пример.

Пример. По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производстве х1 изделий первым способом затраты равны: З1=4х1 +х12 (руб.), при изготовлении х2 изделий первым способом они составляют: З2=8х2 +х22 (руб.). Менеджеру требуется решить, сколько изделий каждым из способов следует изготовить так, чтобы общие затраты на производство были минимальны.

Технология нелинейной оптимизации управленческих решений в данной ситуации состоит из следующих этапов:

1.На первый взгляд кажется, что выгоднее изготовить все 180 единиц продукции только первым способом, так как затраты растут медленнее, но это является ошибкой. Элементарные расчеты показывают, что существуют оптимальные значения произведенной продукции первым и вторым способом, при которых суммарные затраты минимальны.

2.Постановка задачи в данной ситуации заключается в определении минимального значения суммарных затрат при производстве первым и вторым способами:

З=4х1 +х12 +8х2 +х22, при условиях ограниченности выпуска:

х1 +х2=180

х1 0, х2 0

f=4х1 +х12 +8х2 +х22

3. Система уравнений п.2 имеет графическое решение, представленное на рис. 5.7.

103

х1

х1+х2=180

х2

Рис. 5.7. Геометрическая интерпретация управленческого решения на основе нелинейной оптимизации

4. Исходя из полученного представления в п.3 можно сделать вывод: 4х1 +х12 +8х2 +х22=const, дифференцируя по х1:

4+2х1 +8х2´+2х2х2´= 0, отсюда:

х2´= –(2+х1)/(4+х2), приравнивая полученное выражение к –1, так как тан-

генс угла 135 градусов: –1= –(2+х1)/(4+х2), упрощая:

х1–х2=2

х1–х2=180,

отсюда оптимальные значения: х1=91, х2=89.

Это означает, что если менеджер примет управленческое решение изготовить 91 единицу изделий первым технологическим способом и 89 изделий вторым технологическим способом, то общие затраты будут минимальны и составят:

Зmin=4х91 +912 +8х89+892=17278 (руб.)

Если принять решение об изготовлении только первым способом, то затраты составят:

З1=4х180+1802=33120(руб.), если только вторым:

З2=8х180+1802=33840(руб.).

Видно, что экономия оптимального управленческого решения в первом случае составит 15842 руб., во втором: 16562 руб.

5.3.3.Технология динамической оптимизации управленческих решений

Вуправленческих решениях очень часто встречаются случаи, когда цель заключается в установлении наилучшей последовательности тех или иных работ, например: производственных операций, этапов строительства различного рода сооружений, маршрутов передвижений.

104

Именно эта оптимальная последовательность работ или действий ведет к наилучшим результатам работы организации: максимальной прибыли, минимуму временных и финансовых затрат, максимальной рентабельности работы. Нахождение этой оптимальной последовательности происходит динамически с помощью полного или частичного перебора возможных вариантов с помощью компьютера. Машина генерирует возможный вариант управленческого решения, анализирует и делает вывод о его перспективности или неперспективности. В результате такой сортировки на каждом шаге выделяется все меньше и меньше приемлемых вариантов. В заключении такого динамического анализа выделяется одно или несколько лучших решений.

Одной из первых проблем такого рода, привлекших внимание специалистов, была так называемая проблема перевозчика грузов, передвигающегося по различным населенным пунктам.

Суть ее состоит в следующем: имеется n+1 населенных пунктов А0, А1, …. Аn , (n 1) с заданными между ними расстояниями dij (i,j= 0,1,2, …, n).

Требуется, отправляясь из начального пункта А0 выбрать такой маршрут передвижения, при котором перевозчик, побывав в каждом из населенных пунктов по одному разу, вернулся бы в исходный пункт А0, проделав минимально возможный суммарный путь.

Эта проблема может быть решена методом простого перебора всех возможных маршрутов.

Общее число таких маршрутов равно: 1х2х3х4 … (n–1)х n.

При больших n полученная величина столь огромна, что практически исключает возможность прямых вычислений даже при использовании вычислительной техники.

Проблема заключается в том, чтобы резко сократить перебор вариантов, отбрасывая заведомо непригодные. Чтобы была понятна суть метода, следует рассмотреть пример.

Пример. Имеется всего пять пунктов: А0, А1 ,А2 ,А3, А4. Известны расстояния между ними. Расстояния указаны в километрах в нижеследующей матрице на пересечении строк и столбцов.

Видно, что выше приведенная матрица симметрична относительно главной диагонали, поэтому достаточно информации одной из ее половин. Расстоя-

105

ния определяются для конкретных путей сообщения не обязательно по прямой линии. Для определения кратчайшего пути перевозчика следует рассматривать варианты его передвижения последовательно пункт за пунктом.

Определяются варианты, состоящие из трех участков. Например, отправляясь из исходного пункта А0 можно добраться в третий пункт А3, шестью способами:

Зная расстояния между пунктами, можно вычислить суммарный путь для каждого из шести вариантов. Например, сравнивая варианты А0 А1 А2 А3, и А0 А2 А1 А3, получится, что для первого варианта суммарный путь равен: 300+500+250=1050 км. Для второго пути: 250+500+350=1100 км.

Поскольку оба варианта относятся к одному и тому же множеству пунктов и оканчиваются в одном и том же пункте (А3), то в дальнейшем оба варианта могут развиваться одинаково. Ясно, что проигрыш в 50 км, полученный для второго варианта, делает его бесперспективным в сравнении с первым при любом его дальнейшем развитии. Следовательно, второй вариант может быть отброшен, как бесперспективный. Тем самым отбрасываются и все получаемые из него варианты дальнейшего движения, число которых при больших n может быть огромным.

Аналогично рассматриваются все остальные варианты движения: от исходного до первого, от исходного до второго, от исходного до четвертого. Результаты анализа сводятся в табл. 5.2.

106

После заполнения таблицы выделяются только перспективные варианты, к ним добавляется номер непосещенного населенного пункта, и технология повторяется. Определяется перспективность движения уже для четырех участков пути. Для этого к вычисленной длине перспективного пути (см. табл. 5.2) прибавляется расстояние до непосещенного еще населенного пункта. Результаты вычислений сведены в табл. 5.3.

107

Аналогично рассмотрению предыдущего из табл. 5.3 выбираются четыре перспективных варианта:

Так как перевозчику следует возвратиться в исходный пункт, то выделенные перспективные последовательности движения дополняются исходным пунктом А0. Вычисляются для них суммарные расстояния и заносятся результаты в табл. 5.4.

Т а б л и ц а 5.4

Суммарные расстояния выделенных перспективных вариантов движения

Из таблицы видно, что имеется два оптимальных маршрута следования перевозчика А0 А2 А4 А3 А1 А0 и А0 А1 А3 А4 А2 А0, имеющие минимальную из всех возможных маршрутов длину, равную 1350 км.

5.4. Моделирование в управленческих решениях

На современном этапе управленческие решения предусматривают обязательное применение методов математического моделирования, в частности метода имитационного моделирования сложных систем.

Понятие модели является ключевым в общей теории систем. Моделирование нередко (как единственно возможный метод исследования) подразумевает замещение реального объекта другим, материальным или абстрактным.

Важнейшими требованиями к любой модели являются ее адекватность изучаемому объекту в рамках конкретной задачи и реализуемость имеющимися средствами.

В теории принятия решений моделью объекта (системы, операции) называется материальная или мысленно представимая система, создаваемая или используемая при решении конкретной задачи с целью получения новых знаний об объекте-оригинале, адекватная ему с точки зрения изучаемых свойств и более простая, чем оригинал, в остальных аспектах.

Рис. 5.8. Классификация основных методов моделирования

При исследовании экономических информационных систем находят применение все методы моделирования, однако имитационное моделирование строится преимущественно на знаковом методе.

Из множества моделей в силу наибольшего распространения, особенно в условиях информатизации современного общества и внедрения формальных методов во все сферы человеческой деятельности, выделяются математические модели, которые отображают реальные системы с помощью математических символов.

Всамом общем виде математической моделью системы (операции) называется множество, состоящее из:

– множества возможных стратегий управления системой (операцией);

– множества учитываемых в модели факторов;

– множества значений выходных характеристик модели;

– множества значений показателя эффективности системы;

– системы функций моделирования исхода операции;

– системы функций оценивания показателя эффективности системы (операции);

Взависимости от свойств функций все математические модели делятся на три основных класса:

– аналитические;

– статистические;

– имитационные.

109

Важно отметить, что при создании аналитических и статистических моделей широко используется их способность для одних и тех же математических моделей описывать различные по физической природе процессы и явления. Для имитационных моделей в наибольшей степени характерно взаимно однозначное соответствие элементов структур и процессов реальной системы элементам ее математического описания и, соответственно, модели. Большинство классических имитационных моделей построено на принципе изоморфизма – соответствие между объектами, выражающее тождество их структуры.

Рис. 5.9. Изоморфное отображение системы-оригинала

I

II

III

IV

S3 – процессы и явления различны

Рис. 5.10. Моделируемое представление системы

Имитационные модели являются наиболее общими математическими моделями.

В силу этого нередко все модели называют имитационными, в том числе:

–аналитические модели, имитирующие только физические законы, на которых основано функционирование реальной системы, в связи с чем их можно рассматривать как имитационные модели 1-го уровня;

–статистические модели, в которых, кроме того, имитируются случайные факторы, в связи с чем, их можно называть имитационными моделями 2-го уровня;

–собственно имитационные модели, в которых, помимо прочего, имитируется и функционирование системы во времени, это имитационные модели 3-го уровня.

110

Имитационное моделирование, по определению профессора университета в Хантсвилле штата Алабама США, Роберта Шеннона, есть процесс конструирования на ЭВМ модели сложной реальной системы, функционирующей во времени, и постановки экспериментов на этой модели с целью либо понять поведение системы, либо оценить различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы.

Из данного определения следует:

1.Имитационное моделирование предполагает два этапа: конструирование модели на ЭВМ и проведение экспериментов с этой моделью. Каждый из этих этапов предусматривает использование собственных методов. Так, на первом этапе весьма важно грамотно провести информационное обследование, разработку всех видов документации и их реализацию. Второй этап должен предполагать использование методов планирования эксперимента с учетом особенностей машинной имитации.

2.В полном соответствии с системными принципами четко выделены две возможные цели имитационных экспериментов:

– понять поведение исследуемой системы, о которой по каким–либо причинам было мало информации, потребность в этом часто возникает, например, при создании принципиально новых образцов продукции;

– оценить возможные альтернативы управления системой.

3.С помощью имитационного моделирования исследуют сложные системы. Понятие «сложность» является субъективным, и, по сути, выражает отношение исследователя к объекту моделирования. Существуют пять признаков сложности системы, по которым можно судить о ее принадлежности к такому классу систем:

– наличие большого количества взаимосвязанных и взаимодействующих элементов;

– сложность функций, выполняемых системой;

– возможность разбивки (декомпозиции) системы на подсистемы;

– наличие управления, имеющего иерархическую структуру, разветвленной информационной сети и интенсивных потоков информации;

– наличие взаимодействия с внешней средой и функционирование в условиях воздействия случайных и неопределенных факторов.

4.Методом имитационного моделирования исследуют системы, функционирующие во времени, что определяет необходимость создания и использования специальных механизмов управления системным временем.

5.В определении прямо указывается на необходимость использования ЭВМ для реализации имитационных моделей, то есть проведения машинного эксперимента или компьютерной имитации.

Основные достоинства метода имитационного моделирования:

– имитационная модель позволяет, в принципе, описать моделируемый процесс с большей адекватностью, чем другие;

– имитационная модель обладает известной гибкостью варьирования структуры, алгоритмов и параметров системы;