4.6. Периодические функции

Определение. Функция f(x) называется периодической, если существует такое наименьшее положительное число T  , что при любых значениях аргумента x, взятых из области определения функции выполняется равенство: f(x) = f(x+kT), где k – любое целое число. Число T называется периодом функции.

Из основных элементарных функций периодическими являются следующие функции: y = sin x, T = 2; y = cosx, T = 2; y = tgx, T = ; y = ctgx, T = .

§5. Предел числовой последовательности

5.1. Определение и геометрическое истолкование предела последовательности

Пусть задана числовая последовательность {y_n}, где y_n – значения числовой функции f, переменного nN; т.е. y_n = f(n) или y_n = f_n , а f : NR.

Определение. Постоянное число  называется пределом числовой последовательности {y_n}, если для каждого положительного числа , сколь бы мало оно ни было, найдется такое натуральное число n_ , зависящее от , что все члены последовательности с номерами n > n_ , удовлетворяют неравенству

| y_n     . (1.8)

Тот факт, что  является пределом последовательности {y_n}, записывают так: или .

Геометрически определение предела последовательности можно истолковать следующим образом.

Неравенство (1.8), как мы знаем, равносильно следующим:   y_n     или     y_n    . Изобразим числа     и значения y_n последовательности точками на числовой оси y (рис.12).

Точка  будет пределом последовательности {y_n}, если существует такое n_ , что все члены y_n последовательности, начиная с n  n_ , окажутся в  -окрестности точки , т.е. какую бы ни взяли малую  - окрестность точки , если внутри этой окрестности окажется бесконечное множество членов последовательности (с n  n_ ), а вне ее разве лишь конечное число (не более n_ первых членов), то эта точка будет пределом последовательности.

Рис. 12

Если последовательность {y_n} имеет конечный предел , то ее называют сходящейся и говорят, что эта последовательность сходится к  или стремится к , и пишут: y_n  .

Постоянная последовательность {yn}   имеет пределом число  и является сходящейся последовательностью.

Пример: Доказать, что последовательность с общим членом имеет предел, равный единице.

Доказательство. Рассмотрим разность и оценим ее абсолютную величину: . Выражение меньше любого числа   , если . Этим и доказано, что y_n. Действительно, выберем , тогда  n > n_ ; получаем, что y_n – 1  , откуда, по определению, lim y_n = 1.

5.2. Некоторые теоремы о последовательностях, имеющих предел

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство. Допустим противное. Пусть последовательность {y_n} имеет два предела lim y_n =  и lim y_n = , где   , для определенности возьмем   .

Выберем    так, чтобы . Поскольку y_n, то найдется такой номер n₁, что для n > n₁ будет выполняться неравенство     y_n   . С другой стороны, раз y_n  , то найдется такой номер n₂, что для n > n₂ окажется     y_n    Если взять номер n большим и n₁, и n₂, то соответствующие значения y_n последовательности {y_n} будут одновременно принадлежать двум интервалам (  , ) и (  , ), которые не пересекаются, т.е. (  , ) ∩ (  , ) = , что невозможно. Значит, предположение неверно и для последовательности существует только один предел.

Следствие. Если две последовательности {x_n} и y_n} при всех их изменениях равны: x_n = y_n, причем каждая из них имеет конечный предел: lim x_n = , lim y_n = , то равны и эти пределы:   .

Теорема 2. Если последовательность {y_n} имеет конечный предел , то она ограничена, в том смысле, что все ее значения составляют ограниченное множество.

Доказательство. Так как lim y_n = , то в любую -окрестность точки  попадают все y_n, за исключением разве лишь конечного числа точек y_n. Пусть начиная с n = n_+ все , , ,… попали в окрестность (  , ), т.е.     y_n     n > n_ .

Выберем из чисел    и   наибольшее по модулю  = max (|  |,| |). Тогда | y_n| <   n > n_ .

Теперь для конечного множества чисел |y₁|,|y₂|,|y₃|,...., , выберем наибольшее  = max (|y₁|,|y₂|,|y₃|,...., , ). Тогда  nN, следует, что |y_n| < . Теорема доказана.

Заметим, что обратное утверждение не выполняется, так как не всякая ограниченная последовательность имеет предел. Например, последовательность ограничена, но предела не имеет. Действительно, по определению предела последовательности число  будет ее пределом, если в любой -окрестности точки  содержится бесконечное множество членов этой последовательности, а вне ее – конечное. В данном случае в любой -окрестности, например, единицы,   , находится бесконечное множество членов последовательности, но и вне этой окрестности также находится бесконечное множество ее членов. Это означает, что последовательность не имеет предела.

Теорему 2 дополним леммой, доказательство которой аналогично доказательству теоремы 2.

Лемма. Если последовательность y_n}, у которой y_n    nN имеет предел, отличный от нуля, то последовательность ограничена.

Справедлива следующая теорема, которую примем без доказательства.

Теорема 3. Если для последовательностей {x_n} и y_n}, имеющих конечные пределы  и , и, начиная с некоторого номера, для всех последующих членов выполняются неравенства x_n  y_n или x_n > y_n, то lim x_n  lim y_n или   .

Следует обратить внимание на то, что из строгого неравенства x_n  y_n , вообще говоря, не вытекает строгое же неравенство lim x_n  lim y_n , а только по-прежнему lim x_n  lim y_n. Так, например, при всех n, и, тем не менее . Эта теорема дает возможность осуществлять предельный переход в неравенствах: из x_n  y_n можно заключить, что lim x_n  lim y_n.

Замечание. Знак > всюду может быть заменен знаком < .

Теорема 4. (Гурьева о трех последовательностях). Если для трех последовательностей {x_n}, y_n}, {z_n}, начиная с некоторого номера, выполняются неравенства x_n ≤ y_n ≤ z_n , причем последовательности {x_n} и {z_n} стремятся к общему пределу : lim x_n = lim z_n = , то и последовательность y_n} имеет тот же предел: lim y_n= ..

Доказательство. Зададимся произвольным   . Поэтому , прежде всего, найдется такой номер n₁, что при n > n₁     x_n   . Затем найдется такой номер n₂, что при n > n₂     z_n  .

Пусть n_ будет больше обоих чисел n₁ и n₂; тогда при n > n_ выполняются оба предшествующих двойных неравенств и поэтому     x_n ≤ y_n ≤ z_n    .

Окончательно, при n > n_     y_n    или | y_n   | <  . Это означает, что lim y_n =  .