§4. Элементарные функции и их классификация
4.1. Основные (простейшие) элементарные функции
К основным элементарным функциям относятся следующие, аналитическим способом, заданные функции.
1. Показательная функция: у = ах и обратная ей логарифмическая функция: у = loga x, где а – положительное число не равное единице. Графики этих функций показаны на рис.2.
2.
Степенная функция: y
= х,
где R.
Если
= n
– натуральное число, функция определена
в бесконечном интервале (∞
∞)
рис.3 и 4, если же
целое
отрицательное
число:
= –n
,
то функция
y
= х –n
= 1/хn
определена
при всех значениях х,
кроме х
=
0.
График такой функции показан на рис.10.
При
дробном,
мы имеем здесь радикал. Например, пусть
= 1/n
и
;
эта функция обратная для y
= хn
и определена для всех значений х
если n
–
нечетное, и лишь для неотрицательных
значений – при n
четном (рис.3 и 4).
Наконец, если – иррациональное число, мы будем предполагать, что x > 0 и значение y определять путем логарифмирования и потенцирования: ln y = ln x, отсюда y = e ln x.
3. Тригонометрические функции: y = sin x; y = cos x; y = tg x; y = ctg x и обратные тригонометрические функции: y = arcsin x; y = arcos x; y = arctg x; y = arcctg x.
Рис. 10
Основные элементарные функции служат базой для образования широкого класса функций, которые называются элементарными.
4.2. Элементарные функции
К элементарным функциям относятся функции, образованные из основных элементарных функций и чисел посредством четырех арифметических действий и их композиций (сложные функции) последовательно примененных конечное число раз. Например:
и
т.п.
Существуют и не элементарные функции. К ним относятся, например, функции y = E(x) – “целая часть x” (см. гл.1, §2, п.2.1), функция Дирихле, которая определяется так:
и функция “сигнум х”, которая обозначается через signx:
К алгебраическим элементарным функциям относятся:
1. Целая рациональная функция (многочлен)
(1.6)
где
и
х
–
действительные числа, n
– натуральное число.
Эта функция образована из основной элементарной функции у = x, где , и чисел путем сложения и умножения. Естественная область применения: бесконечный интервал (– ∞, +∞);
2. Дробно – рациональная функция, которая представлена в виде отношения двух целых рациональных функций относительно x
.
(1.7)
Областью определения дробно – рациональной функции (речь идет о естественной области применения) является множество всех действительных чисел кроме тех, для которых знаменатель обращается в нуль;
3. Иррациональная функция. Это функция, в которой, кроме указанных выше действий, применяется еще и операция извлечения корня, т.е. в основной элементарной функции y = x может принимать не только целые, но и дробные значения. Область применимости такого выражения устанавливается для каждого конкретного случая отдельно (см., например, гл.1, § 2, п.2.3).
Все прочие элементарные функции (показательные, логарифмические, тригонометрические и др.) относятся к трансцендентным. В качестве примера рассмотрим гиперболические функции. Так называются функции вида
;
;
(гиперболический синус, косинус, тангенс, котангенс); они определены для всех значений x, исключая сth x, который теряет смысл при x = 0.
Эти функции проявляют аналогию с тригонометрическими функциями.
Так, имеют место формулы (обратить внимание на знаки):
сh (x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y,
sh (x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y,
из которых при y = x, в частности, следует:
ch2 x – sh2 x = 1; ch 2x = ch2x + sh2x; sh 2x = 2 sh x ch x.
Графики гиперболических функций изображены на рис.11.
Рис. 11 (Переделать, асимптоты)