5.5. Арифметические операции над последовательностями, имеющими предел

Теорема 1 (о пределе суммы (разности)). Если последовательности {y_n} и {х_n} имеют конечные пределы: lim y_n = , lim х_n = , то и последовательности {y_n ± x_n} также имеют конечный предел, причем

.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что y_n =   u_n, x_n =  + v_n, где последовательности {u_n} и {v_n} – бесконечно малые. Тогда y_n ± x_n = (  ) + + (u_n  v_n).

Здесь последовательности {u_n  v_n} есть бесконечно малые по теореме 1 (п.5.3); следовательно, пользуясь вторым определением предела, можно утверждать, что последовательности {y_n ± x_n} имеют пределы, равные   , что и требовалось доказать. Эта теорема и ее доказательство переносятся на случай любого конечного числа слагаемых.

Теорема 2 (о пределе произведения). Если последовательности {y_n} и {х_n} имеют конечные пределы: lim y_n = , lim х_n = , то и последовательность {y_n x_n} также имеет конечный предел и lim {y_n ·x_n} = lim y_n·lim х_n = ·.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.

Теорема обобщается на случай конечного числа сомножителей.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

lim y_n =  lim y_n , где   постоянное число.

Действительно, если последовательность постоянная = {}, то ее предел lim х_n = . Тогда по теореме 2: lim {y_n · x_n} = lim y_n·lim х_n= lim y_n.

Теорема 3 (о пределе частного). Если последовательности {y_n} и {х_n} имеют конечные пределы: lim y_n = , lim х_n = , то и последовательность также имеет конечный предел, а именно

.

Доказательство. Из условий y_n и x_n имеем y_n =  + u_n и x_n =  + v_n, где последовательности {u_n} и {v_n} – бесконечно малые. Тогда

.

По свойствам бесконечно малых последовательность есть бесконечно малая. Тогда и последовательность также бесконечно малая, как произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую. Таким образом, по второму определению предела следует, что или .

5.6. Неопределенные арифметические выражения

В предыдущем разделе мы установили пределы последовательностей, которые определялись арифметическими выражениями

(1.10)

и, в предположении, что последовательности и стремятся к конечным пределам (из которых, в случае частного, x_n и предел не должны были равняться нулю).

Остановимся теперь на случаях, когда пределы последовательностей и будут (один или оба) бесконечными или – если речь идет о частном – когда предел знаменателя будет нулем.

Начнем рассмотрение именно с частного:

1) Если имеет конечный предел, а стремится к ∞, то стремится к нулю.

В самом деле, ; так как второй множитель есть бесконечно малая (как обратная бесконечно большой), то, по теореме 2 (п.5.3), и есть также бесконечно малая.

2) Если имеет предел, конечный или нет, а x_n  0, то ∞.

Имеем . К последовательности применима теорема 3 о пределе частного – она стремится к нулю. Следовательно, последовательность (как обратная бесконечно малой) имеет пределом ∞.

3) Если y_n→∞, а имеет конечный предел, то .

Действительно, так как в силу 1) стремится к нулю, то .

4. Теперь переходим к случаю, когда обе последовательности и одновременно стремятся к нулю. В этом случае никакого общего заключения о пределе последовательности мы сделать не можем. Этот предел, в зависимости от закона изменения обеих последовательностей, может иметь различные значения или даже вовсе не существовать. Поясним это на примерах.

Пусть , и ; обе последовательности стремятся к нулю. Их отношение также стремится к нулю. Если же, наоборот, положить , , то, хотя они по прежнему стремятся к нулю, на этот раз их отношение стремится к ∞ Взяв же любое отличное от нуля число  и построив две бесконечно малые и , видим, что отношение их имеет пределом  (так как тождественно равно ).

Наконец, если , (обе имеют пределом нуль), то отношение оказывается вовсе не имеющим предела.

Таким образом, одно знание пределов последовательностей и в данном случае не позволяет еще судить о поведении их отношения,  необходимо знать также закон их изменения. Для того, чтобы характеризовать эту особенность случая, когда y_n  0 и x_n  0, говорят, что выражение представляет неопределенность – вида .

5) В случае, когда одновременно y_n  ∞ и x_n  ∞, имеет место подобное же обстоятельство. Не зная самих последовательностей, общего утверждения о поведении их отношения сделать нельзя. Проиллюстрируем это на примерах:

y_n = n  ∞, x_n = n²  ∞, = 0;

y_n = n²  ∞, x_n = n  ∞, = ∞;

y_n = ·n  ∞ (  , x_n = n  ∞, ;

y_n = (1)ⁿ·n  ∞, x_n = n  ∞, вовсе не имеет предела.

И в этом случае говорят, что выражение представляет неопределенность – вида .

Обратимся к рассмотрению произведения :

6) Если имеет предел, конечный или нет, но не равный нулю, а x_n ∞, то  ∞.

В самом деле, последовательность есть бесконечно малая (так как первый множитель имеет конечный предел, а второй стремится к нулю); отсюда и вытекает требуемое заключение.

7) Если у_n 0, в то время как x_n ∞, то исследуя поведение произведения мы сталкиваемся с такой же особенностью, как и в пунктах 4) и 5). Об этом свидетельствуют примеры:

, вовсе не имеет предела.

В связи с этим при и , говорят, что выражение представляет неопределенность вида 0·.

Рассмотрим, наконец, алгебраическую сумму :

8) если ∞, а имеет конечный предел, то ∞.

9) Если и обе стремятся к +∞ (или обе к –∞), то к тому же пределу стремится и сумма .

Доказательство 8) и 9) предлагаем провести самостоятельно.

10) Случай же, когда и стемятся к бесконечности разных знаков, снова оказывается особым: о сумме ничего определенного сказать нельзя, не зная самих последовательностей и .

Примеры.

– предела не имеет.

Ввиду этого, при говорят, что выражение представляет неопределенность вида ∞ – ∞.