8.9. Общие свойства непрерывных функций

Теоремы, отражающие основные свойства непрерывных функций, имеют очень простой геометрический смысл. Утверждения теорем легко установить с учетом того, что график непрерывной на промежутке Р функции представляет собой непрерывную (сплошную) кривую на этом промежутке. Поэтому ниже мы приведем лишь формулировки этих теорем.

Теорема 1 (вторая теорема Коши). Пусть функция f (x) определена и непрерывна в некотором промежутке Р. Если в двух точках х = х₁ и х = х₂ (х₁ < х₂) этого промежутка функция принимает неравные значения

f (x₁) = у₁ и f (x₂) = у₂,

то, каково бы ни было число у₃, лежащее между у₁ и у₂, найдется такая точка х = х₃ между х₁ и х₂, что f (x₃) = у₃.

Следствия: а) значения, принимаемые непрерывной функцией f (x), когда х изменяется в каком-либо промежутке Р, сами также заполняют сплошь некоторый промежуток Е;

б) если значения f (x₁) и f (x₂) разных знаков, то между х₁ и х₂ необходимо найдется точка х₃, в которой функция обращается в нуль: f (x₃) = 0 (первая теорема Коши, теорема о корне);

в) если функция f (x) непрерывна в точке х = х₀ и значение f (x₀) отлично от нуля, то для всех достаточно близких к х₀ значений х функция f (x) сохраняет тот же знак, какой она имеет в точке х₀.

Теорема 2. Пусть функция у = f (x) определена, строго монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке Е. Тогда в соответствующем промежутке Е значений этой функции, существует обратная функция х = g (y), также монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная.

Теорема 3. Если функция f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке Р = [a,b], то: а) она ограничена (первая теорема Вейерштрасса) б) достигает в этом промежутке своих точных верхней и нижних границ, (вторая теорема Вейерштрасса).

Иными словами, в промежутке [a,b] найдутся такие точки х = х₁ и х = х₂, что значения f (х₁) и f (х₂) будут, соответственно, наибольшим и наименьшим из всех значений функции f (x).

Упражнения

1. На языке «  » доказать непрерывность указанных функций в точке х₀.

а) f (x) = ах + b, х₀ = 3; б) f (x) = х³, х₀ = 2.

2. На языке «последовательностей» доказать, что функция

не является непрерывной в точке х₀ = 1. Установить характер разрыва.

3. Доказать непрерывность функции

во всех точках, в которых она определена.

4. Исследовать следующие функции на непрерывность, найти точки разрыва и определить их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию до непрерывности:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж)