6.4. Примеры на нахождение пределов для некоторых неопределенных выражений

1. Пусть функция f (х) = α₀ + α₁х + . . . + α_nхⁿ есть многочлен. Применяя утверждения 8 и 9 (§6, п.6.3), а также результаты примера §6, п.6.1, получим

Если х₀ является бесконечно удаленной предельной точкой, то

∞

как произведение бесконечно большой величины на ограниченную величину (в круглых скобках все слагаемые, кроме α_n  0, при х  ∞ бесконечно малые).

2. Пусть функция дробно-рациональная. Тогда, используя результаты примера, приведенного выше и утверждение 10 (§6, п.6.3), предполагая, что х₀ не есть корень знаменателя, получим

Если х₀ есть корень знаменателя, но не является корнем числителя, то ∞, как отношение ограниченной величины, отличной от нуля, на бесконечно малую.

Если же х₀ является корнем и числителя, и знаменателя, то имеет место особый случай, обозначаемый как .

В этом случае многочлены числителя и знаменателя, согласно теоремы Безу (книга 2, гл. 3, §4), делятся на х – х₀ без остатка и следовательно их можно представить в виде

Отсюда, сократив числитель и знаменатель на общий множитель х – х₀ получаем

В зависимости от кратности корня х₀ эту операцию повторяем до тех пор пока х₀ не будет одновременно корнем и числителя, и знаменателя, и тем самым мы не придем к одному из случаев рассмотренных выше.

Теперь найдем предел дробно-рациональной функции при условии, что х  ∞. Рассмотрим следующие случаи.

а) Пусть n > m. Тогда, разделив числитель и знаменатель на x^m, находим .

Если теперь перейти к пределу в каждом слагаемом числителя и знаменателя, то в числителе получим бесконечность, а в знаменателе – число _m, т.е. .

б) Пусть п = т. Тогда, после деления числителя и знаменателя на х^т = х^п, получаем

.

в) Пусть n < m. Тогда, после деления числителя и знаменателя на xⁿ, получаем:

,

поскольку _n есть конечное число, отличное от нуля, а в знаменателе бесконечно большая величина.

Таким образом,

.

3. Вычисление предела для иррациональных функций в особых случаях, характеризуемых символами выполняется, в основном, при помощи:

а) умножения функции f (x) на такую функцию  (x), которая позволяет устранить неопределенность и предел которой равен единице. Например, вычислить предел функции при х  . Умножим функцию f (x) на функцию , предел которой при х   равен единице. Тогда

б) использования формул:

(1.20)

. (1.21)

Например, вычислить Разделим числитель и знаменатель на х и с использованием (1.20) находим

4. При вычислении предела неопределенных выражений, содержащих тригонометрические функции, руководствуются, в основном, следующими соображениями и формулами:

а) функции и при стремлении х к ∞ ограничены и предела не имеют. На основание этого

б) функция при стремлении х к , m = 0, 1, 2... бесконечно большая, т.е. .

При ∞, хотя функции неограниченны, однако предела они не имеют и не являются бесконечно большими. Действительно для этих функций нельзя подобрать такое число _  0, чтобы неравенство f(х) >  выполнялось бы для всех х  _ ;

в) и

г) если и при то

Например, вычислить Сначала преобразуем функцию

.

Теперь с учетом в) и г) получаем

.

5. Нахождение предела неопределенных степенно-показательных выражений, а также выражений, в которые входят показательные и логарифмические функции, в некоторых случаях удается провести при помощи следующих формул:

1		2
3		4
5		6

Например, вычислить

Преобразуем функцию, разделив числитель и знаменатель на х – 5. Получим

Теперь с учетом вышеприведенных формул, находим