§3. Обратная функция для аналитически заданной функции

Пусть функция у = f(x), заданная аналитическим выражением, определена в некоторой области Р и пусть Е будет множество всех значений, которые эта функция принимает, когда х изменяется в пределах области Р, т.е. Е = f(Р) (обычно как Р, так и Е будут представлять собой числовые промежутки).

Выберем какое-нибудь значение у = у₀ из области Е; тогда в области Р необходимо найдется такое значение х = х₀, при котором наша функция принимает именно значение у₀, так, что f(х₀) = у₀, или, разрешив это уравнение относительно х₀, то

х₀ = g(у₀). (1.5)

Если каждому значению у из Е ставится в соответствие только одно значение х из Р, то это означает, что аналитическим выражением (1.5) задается функция х = g(у), определенная на Е и со значениями в Р, и во-вторых, что функция у = f(x) представляет собой взаимно однозначное отображение и, следовательно, для нее существует обратная функция f  ^–1.

Покажем, что функция g : EP является обратной для функции f : PE, т.е. g = f ^–1. Действительно, при подстановке x = g(y) в y = f(x) мы получаем тождество y = f[g(y)] = y, аналогично x = g[f(x)] = x. Это означает, что композиция (суперпозиция) функций g на f или f на g осуществляют тождественное отображение соответственно e : y  y или e : x  x, т.е. fоg = gоf = e и, следовательно, g = f  ^–1.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда каждому значению y из E ставится в соответствие не одно, а несколько (например, k) значений x из P, т.е. если y = y₀, то x = x_0i , i = 1, ..., k. Для этого случая функция f : PE не представляет собой взаимно однозначное отображение, а аналитическое выражение (1.5) не может определять функцию. Для этой ситуации поступим следующим образом. Разобьем область определения P функции y = f(x) на k подмножеств P_i , i = 1,2,...,k так, чтобы каждому значению y из E ставилось в соответствие только одно значение x из P_i и при этом f(P_i) = E. Тогда, ограничив область определения функции y = f(x) подмножеством P_i , мы получим ситуацию, аналогичную рассмотренной выше. Откуда следует, что функция y = f(x), на подмножестве P_i , имеет обратную функцию и ею является функция x = g(y), определенная на E, но со значениями в P_i , т.е. f : P_iE, а f  ^–1= g : EP_i .

Если функция x = g(y) является обратной для функции y = f(x), то очевидно графики обеих функций совпадают. Можно, однако, потребовать, чтобы и аргумент обратной функции обозначался буквой x, т.е. вместо функции x = g(y) рассматривать y = g(х). Если при этом по-прежнему значения х откладывать по горизонтальной оси, а значения у – по вертикальной, то графики этих функций будут различны. График обратной функции будет симметричен графику прямой функции y = f(x) относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов у = х.

Примеры:

1. y = a^x (a > 0, a   – показательная функция. Эта функция определена на промежутке P = (–∞ ∞, а значения y заполняют промежуток E = (0,∞, причем каждому y из этого промежутка отвечает в P одно значение x = log_a y. Таким образом, выражение x = log_a y есть функция, определенная на E и эта функция является обратной для функции y = a^x, определенной на P. Действительно, , или . Графики этих функций представлены на рис.2.

Рис. 2

2. y = xⁿ – степенная функция, где nN. Такая функция определена на промежутке   ∞ ∞, а значения y заполняют либо промежуток _  –∞∞, если n – нечетное число, либо промежуток E₂ = (0,∞, если n – четное число.

В первом случае любому y = y₀ из E₁ отвечает в P одно значение или ( ) и, следовательно, выражение определяет обратную функцию для . На рис.3 показаны графики прямой (сплошная кривая) и обратной (пунктирная кривая) функций.

Во втором случае функция y = xⁿ, не имеет обратной, так как одному значению у = у₀ из Е₂ = (0, ∞) соответствуют два значения x = x_0k , k = 1,2 из P :  , .

Однако, если область определения P функции y = xⁿ разбить на два подмножества P₁ = [0, ∞) и P₂ = (–∞, 0) и область определения функции y = xⁿ ограничить этими подмножествами, то на каждом из этих подмножеств функция y = xⁿ имеет обратную функцию.

Рис. 3 Рис. 4

На промежутке P₁ обратной функцией является , а на P₂ – . Графики прямой и обратной функций для области определения P₂ показаны на рис.4 сплошной кривой, а для P₁ – пунктирной. Следует обратить внимание на то, что область определения P₂ представляет собой открытый интервал, так как для y₀ = 0 соответствуют не два значения x из P, как для всех остальных y из E, а только одно: x = 0. Мы же точку ноль отнесли к первому промежутку. На графике на этот факт указывают стрелки при приближении к точке нуль.

3. y = sin x – тригонометрическая функция. График этой функции показан на рис.5. Как видно из графика, эта функция определена в промежутке P = (∞∞ причем ее значения заполняют сплошь промежуток   . Каждому значению y = y₀ из E отвечает бесконечное множество значений x из P. Поэтому функция y = sin x, определенная на P, обратной функции не имеет. Однако, если промежуток P разбить на бесконечное число промежутков , где k = 0,  , k  Z), то функция y = sin x, определенная на каждом таком промежутке P_k, имеет обратную функцию, определенную на промежутке (–1,1) и со значениями в данном промежутке P_k. Что же касается граничных точек , разделяющих промежутки P_k и P_k+1, то эти точки будем относить к промежутку P_k; тогда промежуток P_k будет замкнутым справа, а промежуток P_k+1 открытым слева, если k = 0,   и, соответственно, замкнутым слева, а открытым справа если k = – –. Обычно обратную функцию для y = sin x рассматривают лишь для промежутка k = 0, т.е. . Обратим внимание, что это единственный замкнутый промежуток из всех разбиений P_k области Р. Каждому у₀ из [–1,1] в пределах отвечает одно значение х₀₀; его обозначают через х₀₀ = arcsin y₀, а все множество значений х_0к из Р, которым в соответствие ставится у₀ из Е = [–1,1] записывают в виде х_0k = (–1)^k arcsin y₀ +  k, kZ.

Таким образом, обратная функция для y = sin x, определенная на замкнутом промежутке [–1,1], со значениями в замкнутом промежутке имеет вид х = arcsin y (либо у = arcsin х). График функции у = arcsin х показан на рис.6.

Подобные рассуждения для остальных тригонометрических функций приводят к следующим результатам:

а) функция y = cos x, определенная на замкнутом промежутке Р₀ = [0,], имеет обратную х = arccos у (либо у = arccos х), определенную на сегменте [1,1]. Множество всех значений х = х_0k из Р = ∞ ∞ соответствующих у = у₀ из Е = [–1,1] записывается

х_0k =  arccos y₀ + 2 k, где kZ;

Рис. 5 Рис. 6

б) функция y = tg x, определенная на интервале имеет обратную x = arctg y (либо у = arcctg x), определенную на Е = ∞ ∞. Множество значений х_0k из Р соответствующих у₀ из Е записывают

х_0k = arcсtg y₀ + k, kZ.

Для значений функция у = tg x не определена;

в) функция у = ctg x; Р₀ = (0,), имеет обратную х = arcctg у (у = arcctgx), Е = ∞ ∞. Для значений х = k, kZ функция у = ctg x не определена, х_0k = arcсtg y₀ + k.

Графики этих функций показаны на рис. 7 – 9.

Рис. 7

Рис. 8 (Переделать, асимптоты)

Рис. 9 (Переделать, асимптоты)