Глава 1 числовые функции одного действительного переменного

§1. Область определения функции

Как было уже сказано (книга1, гл.3, §3), числовой функцией f одного действительного переменного x называется отображение числового множества P во множество R действительных чисел.

Область P, на которой определена функция f, представляет собой множество действительных чисел (точек) из множества R (арифметического пространства R¹), т.е. P  R.

Введем некоторые понятия и определения для множества P, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.

1. Ограниченные числовые множества

Определение 1. Если для числового множества P  R существует такое конечное число R, что x  , для любого числа x из P, то будем говорить, что множество P ограничено сверху (справа); само число  называется верхней границей множества P.

Если множество Р ограничено сверху, то оно имеет бесконечное множество верхних границ. Действительно, любое число ₁ >, очевидно, так же будет верхней границей. Наименьшую верхнюю границу ₀ множества Р называют точной верхней границей и для ее обозначения употребляется символ sup P = ₀ (supremum P). Заметим, что sup P может принадлежать, а может и не принадлежать множеству Р. Если все числа х множества Р удовлетворяют неравенству х  , то и sup P  .

Если множество Р сверху не ограничено, то за его верхнюю границу принимают “несобственное число” +∞ и записывают sup P = +∞. Относительно символа +∞ считают, что x  +∞, каково бы ни было число x из R.

Определение 2. Если для числового множества P  R    R такое, что x    xP, то будем говорить, что множество P ограничено снизу (слева); само число  называется нижней границей множества P.

Из всего множества нижних границ наибольшую _ называют точной нижней границей множества P и для ее обозначения употребляется символ inf P = _ (infimum P). Inf P может принадлежать, а может и не принадлежать множеству P. Если все числа x множества P удовлетворяют неравенству x  , то и inf P   .

Если множество P снизу не ограничено, то за его нижнюю границу принимают "несобственное число" –∞ и записывают inf P = –∞. Относительно символа –∞ полагают, что х  –∞, каково бы ни было число х из R.

Определение 3. Если числовое множество P ограничено и сверху, и снизу, то такое множество называется ограниченным.

Для любого числа х из ограниченного множества P выполняются неравенства ₀  х  ₀, где ₀ = sup P, а ₀ = inf P.

Для любого ограниченного множества P существует такое число   , что для любого числа х из Р. Это неравенство можно записывать иначе:

–  х  .

Если числовое множество Р не ограничено, то все значения x удовлетворяют неравенству –∞  х  +∞.

Примеры:

1. Р = . Множество  натуральных чисел ограничено снизу. Inf  = 1, sup  = +∞.

2. P = {x | x = m/n, mN, nN и m  n}. Это множество правильных дробей оно ограничено и снизу и сверху inf P = 0, sup P = 1, т.е. является ограниченным множеством.

3. P = R. Множество R действительных чисел является неограниченным множеством и поэтому  xR имеем –∞  x  +∞.

Определение 4. Числовое множество, в котором числовые значения изменяются непрерывным или сплошным образом, называется числовым промежутком.

В большинстве случаев именно числовой промежуток служит областью определения числовой функции.