17) Двойной интеграл в полярных координатах

П усть в двойном интеграле

(1)

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

x = r cos , y = r sin . (2)

Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и  = i (лучи) (рис.1).

Введем обозначения:

rj = rj+1 - rj,

i = i+1 - i

Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка

малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rji и rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

Si = rj i rj (3)

Что касается ячеек Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

В качестве точки Mij  Sij для простоты выберем вершину ячейки Sij с полярными координатами rj и i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:

xij = rj cos i, yij = rj sin i.

И следовательно,

f(xij,yij) = f(rj cos i, rj sin i) (3')

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), п олучаем:

(4)

где d - максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

f(r cos, r sin)r,

с оответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами i и ri. Следовательно

(5)

С равнивая формулы (4) и (5), получим окончательно

(6)

Выражение

dS = r d dr

называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

Д ля вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами

Где r1(), r1() - однозначные непрерывные функции на отрезке [,]. (рис 2).

Имеем

(8)

Где

F(r,) = rf(r cos, r sin)

Пример 1.

П ереходя к полярным координатам  и r, вычислить двойной интеграл

Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).

Так как

т о применяя формулу (6),

п олучим

Область S определена

Неравенствами

П оэтому на основании формулы (8) имеем

Пример 2.

В интеграле

(9)

перейти к полярным координатам.

Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).

В полярных координатах уравнения

этих прямых записываются

следующим образом: =0,

=/4, r cos=1 и,

следовательно, область S

определяется неравенствами

О тсюда на основании формул

(6) и(8), учитывая, что

и меем

18) Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

Объем тела

Как уже показано (п. 7.2), объем цилиндрического тела находится по формуле

где z=ƒ(х;у) - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле (7.4) ƒ(х;у)=1, то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Н=1. Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D:

или, в полярных координатах,

Масса плоской фигуры

Как уже показано (п. 7.2), масса плоской пластинки D с переменной плотностью =(х;у) находится по формуле

Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см. Часть 1, п. 41.6) могут быть вычислены по формулам

а координаты центра масс фигуры - по формулам

Моменты инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки массы м относительно оси l называется произведение массы м на квадрат расстояния d точки до оси, т. е. Мl=m • d². Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам:

Момент инерции фигуры относительно начала координат - по формуле М_о=М_х +М_у.

Замечание. Приведенными примерами не исчерпывается применение двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 11.3).

 

Пример 7.3. Найти объем тела, ограниченного поверхностями х²+у²-z+1=0 и x²+y²+3z-7=0.

Р ешение: Данное тело ограничено двумя параболоидами (см. рис. 12). Решая систему

находим уравнение линии их пересечения: х²+у²=1, z=2.

Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг х²+у²≤1) и ограниченных сверху соответственно поверхностями

Используя формулу (7.4), имеем

Переходя к полярным координатам, находим:

Пример 7.4.  Найти массу, статические моменты S_x и S_y и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом   и координатными осями (см. рис. 13). Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.

 

Решение: По формуле (7.6) находим массу пластинки. По условию, =(х;у)= k • ху, где k - коэффициент пропорциональности.

Находим статические моменты пластинки:

Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы