Решение

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

то есть найдены четыре стационарные точки.  2.

по теореме 1.4 в точке   – минимум. Причём 

по теореме 1.4 в точке

- максимум.  Причём

10) Во многих задачах на отыскание экстремума функции вопрос сводится к нахождению экстремума функции от нескольких переменных, которые не являются независимыми, а связаны друг с другом какими-то добавочными условиями, которые можно записать в виде уравнений, называемых уравнениями связи.

        Рассмотрим, например, такую задачу: из данного куска жести площадью 2а квадратных единиц (кв. ед.) надо сделать закрытуюкоробку в форме параллелепипеда, имеющую наибольший объём.

О бозначим линейные размеры коробки через х, у, z . Задача сводится к отысканию максимума функции v  = хуz при условии, что 2ху + 2хz  + 2уz  = 2а. Полная поверхность параллелепипеда равна площади куска жести. Здесь мы имеем задачу на условный экстремум: переменные х, у, z связаны условием 2ху + 2хz  + 2уz  = 2а. Ниже мы рассмотрим метод решения подобных задач. Ограничимся задачей об  условном   экстремуме функции двух переменных, если эти переменные связаны только одним условием.

Определение. Условным экстремумом функции z  = f (х, у) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии,  что переменные х и у связаны уравнением  (х, у) = 0 (уравнением связи).

        Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (х, у) при условии, что х и у связаны уравнением  (х, у) = 0.

        При наличии условия   (х, у) = 0 из двух переменных х и у независимой будет только одна, например, х, так как у определяется из равенства   (х, у) = 0 как функция от х.

Найдём полные производные   и   (см. тему № 14  ):

,       (1)

.        (2)

В точках экстремума  , то есть     .      (3)

 также равна нулю, так как   (х, у) = 0, то есть

.           (4)

Составим линейную комбинацию:  . Получим:

или

    (5)

 –  неопределённыё постоянный множитель.

        Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберём     так, чтобы для значений х и у, соответствующи экстремуму функции f  (х, у),, вторая скобка в равенстве (5) обратилась в нуль (метод Лагранжа).

        Для определённости будем предполагать, что в критических точках  .

        Тогда из (5) следует равенство  .

        Таким образом, для отыскания экстремума получим следующую систему уравнений с тремя неизвестными х, у,   :

                        (6)

        Из этих уравнений определяем х, у и коэффициент   , который играет только вспомогательную роль и в дальнейшем не потребуется.

Таким образом, уравнения (6) являются необходимыми условиями условного экстремума.

Замечание. В сущности, исследование на условный экстремум функции z  = f (х, у), при условии   (х, у) = 0 сводится к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа.

u  = f (х, у) +  (х, у),         (7)

где  – неопределённый постоянный множитель.

Необходимые условия для неё:                                                    (8)

Сравните с системой (6).

Сформулируем (без вывода) достаточное условие условного экстремума в критической точке M₀(x₀,y₀), предполагая, что функции z  = f (х, у) и  (х, у) = 0 имеют в точке M₀ непрерывные частные производные второго порядка.

Составим функцию Лагранжа u  = f (х, у) +  (х, у) и определитель:

.

Если определитель , то M₀ есть точка условного минимума, если  , то M₀ –  точка условного максимума.

Пример18. Найти экстремумы функции  z = x² – y²   при условии 2x – y = 3.

Решение. Составим систему (6), считая  (x, y) = 2x –  y – 3:.

Исключая    из первых двух уравнений, получим:

Проверим достаточное условие. Вычислим  :

Значит, точка (2, 1) не является экстремальной для функции  z = x² – y², но является точкой условного экстремума (условный максимум) функции   z = x² – y²   при условии   2x - y = 3: z_max = 3.

Метод множителей Лагранжа, метод нахождения условного экстремума функции  , где  , относительно   ограничений  , где   меняется от единицы до  .