30) Функциональные ряды

Формально записанное выражение

            (25)

где  - последовательность функций от независимой переменной x, называется функциональным рядом.

Примерами функциональных рядов могут служить:

          (26)

                  (27)

Придавая независимой переменной x некоторое значение  и подставляя его в функциональный ряд (25), получим числовой ряд

   

Если он сходится, то говорят, что функциональный ряд (25) сходится при  ; если он расходится, что говорят, что ряд (25) расходится при  .

Пример 13. Исследовать сходимость ряда (26) при значениях x = 1 и x = - 1.  Решение. При x = 1 получим числовой ряд

который сходится по признаку Лейбница (см. пример 11). При x = - 1 получим числовой ряд

который расходится как произведение расходящегося гармонического ряда на – 1. Итак, ряд (26) сходится при x = 1 и расходится при x = -1.

Если такую проверку на сходимость функционального ряда (1) осуществить относительно всех значений независимой переменной из области определения его членов, то точки этой области разобьются на два множества: при значениях x, взятых в одном из них, ряд (25) сходится, а в другом – расходится.

Множество значений независимой переменной, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

Пример 14. Найти область сходимости ряда

Решение. Члены ряда определены на всей числовой прямой и образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = sin x. Поэтому ряд сходится, если

и расходится, если

(значения  невозможны). Но  при значениях  и  при остальных значениях x. Следовательно, ряд сходится при всех значениях x, кроме  . Областью его сходимости служит вся числовая прямая, за исключением этих точек.

Пример 15. Найти область сходимости ряда

Решение. Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = ln x. Поэтому ряд сходится, если  , или  , откуда  . Это и есть область сходимости данного ряда.

Пример 16. Исследовать сходимость ряда

Решение. Возьмём произвольное значение  . При этом значении получим числовой ряд

              (*)

Найдём предел его общего члена

при  :

Следовательно, ряд (*) расходится при произвольно выбранном, т.е. при любом значении x. Область его сходимости – пустое множество.

Степенные ряды

Среди функциональных рядов наиболее важное место занимают степенные ряды.

Степенным рядом называют ряд

члены которого – степенные функции, расположенные по возрастающим целым неотрицательным степеням x, а  - постоянные величины. Числа  - коэффициенты членов ряда,  - свободный член. Члены степенного ряда определены на всей числовой прямой.

Примерами степенных рядов могут служить приведённые выше ряды (26) и (27).

Область сходимости функционального ряда может быть разнообразной по структуре и даже не содержать ни одной точки.

При подстановке в степенной ряд значения x = 0 получится числовой ряд

который сходится. Следовательно, при x = 0 сходится любой степенной ряд и, значит, область его сходимости не может быть пустым множеством. Структура области сходимости всех степенных рядов одинакова. Её можно установить с помощью следующей теоремы.

Теорема 1 (теорема Абеля). Если степенной ряд сходится при некотором значении  , отличном от нуля, то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях  .

Следствие. Если степенной ряд расходится при некотором значении  , то он расходится и при всех значениях  .

Как отмечалось выше, любой степенной ряд сходится при значении x = 0. Есть степенные ряды, которые сходятся только при x = 0 и расходятся при остальных значениях х. Исключая из рассмотрения этот случай, предположим, что степенной ряд сходится при некотором значении  , отличном от нуля. Тогда, по теореме Абеля, он сходится во всех точках интервала  , симметричного относительно начала координат. Если же степенной ряд расходится при некотором значении  , то на основании следствия из теоремы Абеля он расходится и во всех точках вне отрезка  . Отсюда следует, что для любого степенного ряда имеется интервал  , симметричный относительно начала координат, называемый интервалом сходимости, в каждой точке которого ряд сходится, на границах может сходиться, а может и расходиться, при чем не обязательно одновременно, а вне отрезка   ряд расходится. Число Rназывается радиусом сходимости степенного ряда.

В частных случаях интервал сходимости степенного ряда может вырождаться в точку (тогда ряд сходится только при x = 0 и считается, что R = 0) или представлять собой всю числовую прямую (тогда ряд сходится во всех точках числовой прямой и считается, что  ).

Таким образом, определение области сходимости степенного ряда заключается в определении его радиуса сходимости R и исследовании сходимости ряда на границах интервала сходимости (при  ).

Теорема 2. Если все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус сходимости равен пределу при  отношения абсолютных величин коэффициентов общего следующего за ним членов ряда, т.е..

                             (28)            

Пример 17. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Здесь

т.е.

Используя формулу (28), найдём радиус сходимости данного ряда:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости  . В примере 13 показано, что данный ряд сходится при x = 1 и расходится при x = -1. Следовательно, областью сходимости служит полуинтервал  .

Пример 18. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Коэффициенты ряда положительны, причём

Имеем

Найдём предел этого отношения, т.е. радиус сходимости степенного ряда:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала  . Подстановка значений x = -1/5 и x = 1/5 в данный ряд даёт:

Первый из этих рядов сходится (см. пример 5). Но тогда в силу теоремы параграфа «Абсолютная сходимость» сходится и второй ряд, а область его сходимости – отрезок 

31) Теорема Абеля. Если степенной ряд a₀+ a₁x+ a₂x(\²⁾+…+ a_nx(\ⁿ⁾+…          (*) сходится в точке x0<>0 , то он абсолютно сходится в интервале (-|x0|,|x0|) , т.е. при всяком х, удовлетворяющем условию|x|<|x0|

Если степенной ряд a₀+ a₁x+ a₂x(\²⁾+…+ a_nx(\ⁿ⁾+…  (*) расходится при x=x1, то он расходится для всякого х, удовлетворяющем условию|x|>|x1|

Доказательство. Заметим, что вследствие сходимости ряда SUM(/n=1)(\inf)a(/n)x0(\n) его общий член стремится к нулю: a(/n)x(/0)(\n)->0; поэтому все члены этого ряда ограничены в своей совокупности, т.е. сущест­вует такое постоянное положительное число М, что при всяком n имеет место неравенство |a(/n)x(/0)(\n)|<M. Запишем ряд (*) так

a0+a1*x0(x/x0)+a2*x0(\2)*(x/x0)(\2)+..+an*x0(\n)*(x/x0)(\n)+..,

и составим ряд из абсолютных величин членов этого ряда:

|a0|+|a1*x0|*|x/x0|+|a2*x0(\2)|*|x/x0|(\2)+..+|an*x0(\n)|*|x/x0|(\n)+..,

В силу установленного неравенства каждый член здесь меньше соответствующего члена геометрической прогрессии со знамена­телем |x/x0|:

M+M*|x/x0|+M*|x/x0|(\2)+..+M*|x/x0|(\2)+..

Если |x|<|x0|, то |x/x0|<1

и прогрессия сходится; поэтому сходится и ряд абсолютных величин, а значит, абсолютно сходится сам ряд (*). Теорема доказана.

Несмотря на то, что|an*x(\n)|<|an*x0(\n)|, мы не можем сразу воспользоваться признаком сравнения, поскольку в условии теоремы не сказано, что ряд в самой точке x0 сходится абсолютно.

 

Следствие. Если степенной ряд (*) расходится при x=x0, то он расходится и при всяком х, большем по абсолютной ве­личине, чем x0, т.е. при |x|>|x0|

Перейдем к установлению области сходимости степенного ряда (*). Здесь возможны три случая:

1) Область сходимости состоит только из одной точки х = 0, другими словами, ряд расходится для всех значений х, кроме одного. Этот случай может быть иллюстрирован рядом

1+x+2(\2)*x(\2)+..+n(\n)*x(\n)+..;

действительно, если х фиксировано и x<>0, то, начиная с достаточно большого n, будет |nx|>1, откуда вытекает неравенство |n(\n)*x(\n)|>1 , означающее, что общий член ряда не стремится к нулю.

2)        Область сходимости состоит из всех точек оси Ох, другими словами, ряд сходится при всех х.

Рассмотрим ряд 1+x+(x(\2))/(2(\2))+..+(x(\n))/(n(\n))+..

Для любого х, начиная с достаточно большого n, будет |x/n|<1

Так как |x/(n+1)|(\n+1)<|x/n|(\n+1), |x/(n+2)|(\n+2)<|x/n|(\n+2) и т.д., то, начиная с номера n, члены ряда по абсолютной величине будут меньше членов сходящейся геометрической прогрессии. Следова­тельно, при любом х ряд сходится.

3)        Область сходимости состоит больше, чем из одной точки оси Ох, причем есть точки оси, не принадлежащие области сходимости.

В этом случае на числовой оси наряду с точками схо­димости ряда имеются и точки его расходимости.

Из теоремы Абеля и ее следствия вытекает, что все точки сходимости расположены от начала координат не дальше, чем любая из точек расходимости. Совершенно ясно, что точки сходи­мости будут целиком заполнять некоторый интервал с центром в начале координат.

Таким образом, можно сказать, что для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходи­мости, существует такое положительное число R, что для всех х, по модулю меньших R(|x| < R), ряд абсолютно схо­дится, а для всех х, по модулю больших R (|x| > R), ряд расхо­дится.

Что касается значений х=R и х=-R, то здесь могут осуществляться различные возможности: ряд может сходиться в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной. При этом ряд может сходиться как абсолютно, так и условно.