5) Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

 

нормаль  касательная плоскость

   Пусть N и N₀ – точки данной поверхности. Проведем прямую NN₀. Плоскость, которая проходит через точку N₀, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущейNN₀ и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN₀.

  Определение. Нормалью к поверхности в точке N₀ называется прямая, проходящая через точку N₀ перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

  В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

  Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М₀(х₀, у₀), касательная плоскость в точке N₀(x₀,y_0,(x₀,y₀)) существует и имеет уравнение:

.

  Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

  Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х₀, у₀) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х₀, у₀) к точке (х₀+х, у₀+у).

  Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

  Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М(1, 1, 1).

 

 

  Уравнение касательной плоскости:

 

  Уравнение нормали:

 

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

  Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:

  Если подставить в эту формулу выражение

то получим приближенную формулу:

 

  Пример. Вычислить приближенно значение  , исходя из значения функции   при x = 1, y = 2, z = 1.

  Из заданного выражения определим x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = -0,01,

z = 1,02 – 1 = 0,02.

  Найдем значение функции u(x, y, z) = 

Находим частные производные:

Полный дифференциал функции u равен:

 

 

 

  Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

Дискретная математика (конечная математика) - раздел математики, занимающийся изучением свойств объектов конечного характера. К их числу могут быть отнесены, например, конечные группы, конечные графы, некоторые математические модели преобразователей информации. 

6) Производная сложной функции

Пусть    -- область в   , в которой заданы   функций   ,   . Предположим, что все значения вектор-функции

лежат в области   , в которой задана функция   . Тогда можно определить композицию (или сложную функцию)   :

определённую при   .

        Теорема 7.11   Пусть    -- внутренняя точка области   . Если в описанной ситуации функции   имеют в точке   частные производные   по переменной   , а функция  имеет в точке   частные производные   по всем переменным   , то сложная функция   имеет в точке   частную производную по   , равную

(7.7)

В частности, если   и    -- интервал вещественной оси   и функции   зависят от единственного переменного   , то

(7.8)

Для доказательства достаточно выписать приращения функций и перейти к пределу при   . В случае затруднений в таком упражнении читатель может найти подробное доказательство (в случае   ) в учебнике  Никольский С. М. Курс математического анализа, т. 1. -- М.: Наука, 1991. -- С. 263 - 264.

Производная   от функции   , вычисленная по формуле (7.8), называется полной производной от   по   , в отличие от частных производных от   по промежуточным переменным   .

        Пример 7.16   Пусть координаты   зависят от   следующим образом:

Рассмотрим функцию

и найдём производные величины   по переменным   и   , то есть производные композиции   .

Поскольку

и

то по формуле (7.7) получаем:

и

Дифференциалы высших порядков ФНП

Пусть в области  ,  , задана произвольная ФНП  ,  , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции

в общем случае является функцией переменных   и  приращений  ,  ,  ,  . Если предположить, что 1) функция   имеет непрерывные частные производные  второго порядка и 2) для любого   значения   остаются произвольными, но постоянными, то можно рассматривать полный дифференциал от  , т.е.   – дифференциал второго порядка исходной функции   в точке   соответственно  ,  ,  ,  .

Пусть  ,  . 

Тогда  . Поэтому

;   – произвольные.

ПРИМЕР 1. Для функции  . Найти  ,   при произвольных   и  .

Решение. Вычисляем последовательно частные производные   и  , а затем  ,  ;  . Записываем

,

здесь можно также обозначить  ,  .

Заметим, что если   записать в операторной форме

,

то для дифференциала второго порядка   можно использовать запись

или

,

свернув оператор формально "в квадрат суммы  ".

Можно убедиться, что при соответствующих предположениях полный дифференциал третьего порядка   в операторной форме запишется 

или 

.

Например, для   (см. ранее  ПРИМЕР 1) имеем  ;  ;  ;  , т.е.

;

здесь  ,    – произвольно заданные постоянные.

По аналогии можно записать

  –

полный дифференциал " "-го порядка для функции  .

Для функции  ,   имеем соответственно

;

;

аналогично

.

Если х - независимая переменная, то формула для дифференциала:  . Если  , то  . Таким образом, независимо от того, является ли х независимой переменной, или сама эта переменная х является функцией другой переменной t, формула для нахождения дифференциала первого порядка одна и та же. Это свойство и называется инвариантностью формы первого дифференциала, и часто применяется в теории и решении задач.

7) Дифференцирование неявной функции

Функция z = ƒ (х; у) называется неявной, если она задается уравнением

неразрешенным относительно z. Найдем частные производные   неявной функции z, заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив в уравнение вместо z функцию ƒ (х; у), получим тождество F(x;у;ƒ (х; у)) = 0. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

откуда

Замечания.

а) Уравнение вида (44.11) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение х²+у²+z²-4=0 определяет функции определенные в круге х²+у²≤4, определенную в полукруге х2+у2 ≤ 4 при у≥ 0 и т. д., а уравнение cos(x + 2у +3z)- 4 = 0 не определяет никакой функции.

Имеет место теорема существования неявной функции двух переменных: если функция F(x; у; z) и ее производные F'x(x; у; z), F'y(x; у; z), F'z(x;y;z) определены и непрерывны в некоторой окрестности точки M0(x₀;y₀;z₀), причем F(x₀;y₀;z₀)=0, а F'z(x₀;y₀;z₀)≠0, то существует окрестность точки М₀, в которой уравнение (44.11) определяет единственную функцию z=ƒ(х;у), непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки (х₀;у₀) и такую, что ƒ(х₀;у₀)=z₀.

б) Неявная функция у=ƒ(х) одной переменной задается уравнением F(x;у)=0. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле

Пример 44.6. Найти частные производные функции z, заданной уравнением e^z+z-х²у+1=0.

Решение: Здесь F(x;y;z)=e^z+z-х²у+1, F'_x=-2ху, F'_y = -х2, F'_z=e^z+1. По формулам (44.12) имеем:

Пример 44.7. Найти  если неявная функция у=ƒ(х) задана уравнением у³+2у=2х.

Решение: Здесь F(x;у) = у³+2у-2х, F'_x=-2, F'_y = 3у²+2. Следовательно,

8) Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции    в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

  .