Описание метода

• Составим функцию Лагранжа в виде линейной комбинации функции   и функций  , взятых с коэффициентами, называемыми множителями Лагранжа —  :

где  .

• Составим систему из   уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа   по   и  .

• Если полученная система имеет решение относительно параметров   и  , тогда точка   может быть условным экстремумом, то есть решением исходной задачи. Заметим, что это условие носит необходимый, но не достаточный характер.

Обоснование

Нижеприведенное обоснование метода множителей Лагранжа не является его строгим доказательством. Оно содержит эвристические рассуждения, помогающие понять геометрический смысл метода.

Двумерный случай

Линии уровня   и кривая  .

Пусть требуется найти экстремум некоторой функции двух переменных   при условии, задаваемом уравнением  . Мы будем считать, что все функции непрерывно дифференцируемы, и данное уравнение задает гладкую кривую   на плоскости  . Тогда задача сводится к нахождению экстремума функции   на кривой  . Будем также считать, что   не проходит через точки, в которых градиент   обращается в  .

Нарисуем на плоскости   линии уровня функции   (то есть кривые  ). Из геометрических соображений видно, что экстремумом функции   на кривой   могут быть только точки, в которых касательные к   и соответствующей линии уровня совпадают. Действительно, если кривая   пересекает линию уровня   в точке   трансверсально (то есть под некоторым ненулевым углом), то двигаясь по кривой   из точки   мы можем попасть как на линии уровня, соответствующие большему значению  , так и меньшему. Следовательно, такая точка не может быть точкой экстремума.

Тем самым, необходимым условием экстремума в нашем случае будет совпадение касательных. Чтобы записать его в аналитической форме, заметим, что оно эквивалентно параллельности градиентов функций   и   в данной точке, поскольку вектор градиента перпендикулярен касательной к линии уровня. Это условие выражается в следующей форме:

где   — некоторое число, отличное от нуля, и являющееся множителем Лагранжа.

Рассмотрим теперь функцию Лагранжа , зависящую от   и  :

Необходимым условием ее экстремума является равенство нулю градиента  . В соответствии с правилами дифференцирования, оно записывается в виде

Мы получили систему, первые два уравнения которой эквивалентны необходимому условию локального экстремума (1), а третье — уравнению  . Из нее можно найти  . При этом  , поскольку в противном случае градиент функции   обращается в нуль в точке  , что противоречит нашим предположениям. Следует заметить, что найденные таким образом точки   могут и не являться искомыми точками условного экстремума — рассмотренное условие носит необходимый, но не достаточный характер. Нахождение условного экстремума с помощью вспомогательной функции   и составляет основу метода множителей Лагранжа, примененного здесь для простейшего случая двух переменных. Оказывается, вышеприведенные рассуждения обобщаются на случай произвольного числа переменных и уравнений, задающих условия.

На основе метода множителей Лагранжа можно доказать и некоторые достаточные условия для условного экстремума, требующие анализа вторых производных функции Лагранжа.

11) Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции z = f ( x, y) в заданной замкнутой области D, надо:

1. вычислить первые частные производные;

2. решив систему (4.17), найти координаты стационарных точек и, если они принадлежат области D, вычислить значение функции в этих точках;

3. найти наибольшее и наименьшее значение функции на границе D;

4. из всех найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Если координаты стационарных точек не принадлежат заданной области D, то наибольшее и наименьшее значение функции лежит на границе.

Пример. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции

z = x² - xy + y² - 4x

Область D определена линиями:

x = 0,    y = 0,       2x + 3y - 12 =0

Найдём координаты стационарных точек:

Построим для наглядности границу D на плоскости XOY.

Найденная стационарная точка M (8/3;4/3) принадлежит заданной области D:

Найдём значения функции на границах:

Экстремальная точка на той части границы, которая совпадает с осью OY, лежит на нижней границе интервала. Значение функции в этой точке z (0;0)=0.

На другом конце интервала z (0;4)=16:

– точка экстремума функции на второй границе.

На этой границе, совпадающей с осью OX, вычислим значение функции в трёх точках: (0,0); (2,0); (6,0) – правая граница интервала. В первой точке значение функции уже известно из пункта (а):z(2,0)= -4; z(6,0)=12.

Третье аналитическое выражение для границы запишем как y = f (x) и подставим в исходное уравнение:

Значение функции на концах отрезка прямой   мы уже знаем. Это точка z(0,4)=16 из пункта (а) и точка z(6,0)=12 из пункта (б).

Найдём экстремальное значение функции (если оно есть) внутри этой границы:

Это точка экстремума функции внутри границы  ;

z = -96/19» -5.053.

Тогда из найденных значений функций z (8/3;4/3)= -5.333 – наименьшее, а z (0;4)=16 – наибольшее.

12) Пусть в некоторой области 3-х мерного пространства задано скалярное поле  . Выберем в этой области точку  . Если перемещаться из этой точки вдоль какой-либо линии, то поле будет меняться от точки к точке. Причем, ясно, что для различных направлений скорость изменения   также может оказаться различной и должна характеризовать само поле в рассматриваемой точке или ее окрестности. При этом, по смыслу рассуждений, эта величина должна быть векторной. Рассмотрим строгое определение этой характеристики на примере гидромеханической аналогии. Пусть в пространстве задано скалярное поле давления жидкости или газа. Поместим в эту область тело произвольной формы, ограниченное поверхностью  , (рис. 24). Вычислим суммарую силу  , действующую на тело со стороны среды.

Рис.24 К определению градиента скалярной функции

Рассмотрим площадку  , содержащую точку   на поверхности  . Модуль силы, действующей на площадку  , равен  , а направление совпадает с направлением нормали к поверхности в точке  . Таким образом, вектор силы

(71)

Полная сила может быть вычислена интегрированием по поверхности  :

(72)

Если результат (72) разделить на объем  , заключенный внутри поверхности  , то получившаяся величина

(73)

будет "средней" силой, действующей со стороны среды на любую точку внутри  . Физической причиной этого действия является перепад давлений между различными точками среды.

       Способность поля (в данном случае поля давлений) оказывать действие на пробное тело является характеристикой самого поля и поэтому не должна зависеть на формы и размеров тела, помещенного в это поле. Будем стягивать поверхность   к точке  , устремляя, таким образом,   и рассмотрим предел

(74)

Если предел (74) существует, то по смыслу рассуждений он определит плотность силы, действующей со стороны поля (давлений) на точечное тело, помещенное в точку   и будет характеризовать быстроту изменения поля (перепад давлений) в окрестности этой точки.

      Рассмотрим общий случай скалярного поля  . Если для поля   существует предел (74) при стягивании поверхности к точке  , то он называется градиентом поля   в этой точке:

(75)

По определению   является вектором и вообще, выражение (75), будучи примененным в каждой точке области определения поля  , будет задавать векторное поле градиента  .

      Формула (75) задает определение   в форме, независящей от системы координат - инвариантно. Пользуясь (75), получим формулу вычисления градиента скалярного поля в декартовой системе координат. Тогда, так как вектор нормали  :

(76)

Применим к каждому слагаемому (76) формулу Остроградского-Гаусса (3.1):

(77)

Применяя теорему о среднем к правой части (77), получим

(78)

переходя к пределу   и сравнивая с определением градиента (75), получим формулу для вычисления градиента в декартовой системе координат:

(79)

      Производная по направлению. Выберем в пространстве, где задано скалярное поле   некоторое направление с помощью единичного вектора  . Считая, что этот вектор определяет координатную ось   и пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, вычислим производную

(80)

Полученное выражение, учитывая, что   - координаты вектора  ,можно переписать как скалярное произведение

(81)

Это выражение (81) называется производной по направлению   поля  .

Из определения (81) следуют свойства градиента:

1.  направлен перпендикулярно к линии уровня  ;

2.  направлен в сторону наискорейшего возрастания функции  ;

Формула (79) позволяет получить следующие свойства и правила вычисления  :

1.		(82)
2.		(83)
3.	(сложное поле)	(84)

       Пример 3-8. Вычислить градиент поля  , где   - модуль радиус-вектора,  .

       Решение. Согласно выражению (79), получим

Аналогично,  ,   и тогда, складывая вычисленные производные, получим:

   или в бескоординатной форме

13) Дивергенция (расхождение вектора) – это алгебраическая скалярная величина, характеризующая источники поля в рассматриваемой точке поля или указывающая на отсутствие источников

.

Численно дивергенцию в данной точке определяют как предел, к которому стремится отношение потока вектора через замкнутую поверхность к объему, ограниченному этой поверхностью, при стремлении этого объема к нулю

.(14.14)

Если div   > 0, то имеются источники поля и линии вектора   расходятся из данной точки. Точка наблюдения служит началом (истоком) линий вектора  .

Если div   < 0, то в точке наблюдения линии вектора   сходятся, т.е. она служит стоком линий вектора  .

Если div   = 0, то в рассматриваемой точке отсутствует источник линий вектора  .

Картина электрического поля при наличии и отсутствии зарядов показана на рис. 14.4. Например, если имеется объемный положительный заряд +ρ, то он является истоком вектора электрического смещения  .

Рис. 14.4. Электрическое поле при наличии и отсутствии электрических зарядов

Дивергенция вектора магнитной индукции   всегда равна нулю, так как линии вектора   замкнуты (не имеют начала и конца).

В декартовой системе координат

 (14.15)

Ротор (вихрь) вектора поля rot   – это вектор, характеризующий интенсивность вихревых полей в каждой точке. Ротор проявляет себя как вихрь, поэтому он имеет ось. Направление оси определяет направление вектора, изображающего ротор.

Численно составляющую ротора в направлении нормали   к плоской площадке Δs определяют как предел, к которому стремится отношение циркуляции вектора к площадке Δs, ограниченной контуром интегрирования, при стремлении ее к нулю (рис. 14.5)

. (14.16)

Если вихревое поле в некоторой области не имеет внутри источников векторных линий, то rot   ≠ 0 (div   = 0).

Запишем ротор вектора в декартовой системе координат

 (14.17)

Рис. 14.5. К пояснению определения ротора вектора

где: . (14.18)

 (14.19)

14) Двойной интеграл.  Пусть функция z = f(x,y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости R2. Разобьём область D произвольным  образом на  n  элементарных замкнутых областей  1, … ,n, имеющих площади 1, …, n и диаметры d1 , …, dn соответственно. Обозначим d наибольший из диаметров областей 1, … ,n . Диаметром замкнутой ограниченной области  называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области. В каждой области k выберем произвольную точку Pk (xk ,yk) и составим интегральную сумму функции f(x,y)    S  =   (рис. 1).

Рисунок 1

Определение. Двойным интегралом функции f(x,y) по области D называется предел интегральной суммы

               ,

если он существует.