Доказательство

По условию последовательность  , а следовательно, и её остаток   имеют общий конечный предел  , но   и поэтому  , что равносильно бесконечной малости  .

Геометрическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число  q , называется геометрической

прогрессией. Число q называется знаменателем прогрессии.  Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

 

b_n =  b₁  q ^n  1 .

 

Сумма  n  первых членов геометрической прогрессии вычисляется как:

 

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это геометрическая прогрессия, у которой  | q | < 1 . Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а именно:  это число, к

которому неограниченно приближается сумма  n первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа  n. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

П р и м е р .  Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Р е ш е н и е . Применим последнюю формулу. Здесь  b₁ = 1,  q = 1/2. Тогда:

21) Гармонический ряд. Нахождение n-й частичной суммы   и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них, как правило, является необходимый признак сходимости. Теорема.  Если ряд   сходится, то его общий член   стремится к нулю, т.е.  . Пусть ряд   сходится и  . Тогда и  . Учитывая, что   при n>1, получаем:  . Следствие (достаточное условие расходимости ряда) Если   или этот предел не существует, то ряд расходится. Действительно, если бы ряд сходился, то (по теореме)  . Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится. Теорема о сходимости дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное: из условия   не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых  . В качестве примера рассмотрим так называемый гармонический ряд Очевидно, что  . Однако ряд расходится.  Как известно,  . Отсюда следует, что при любом   имеет место неравенство  . Логарифмируя это неравенство по основанию е, получим: ,  т.е.  ,  Подставляя в полученное неравенство поочередно n=1, 2, …, n – 1, n, получим: Сложив почленно эти неравенства, получаем  . Поскольку  , получаем  , т.е. гармонический ряд   расходится. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов. Необходимый признак сходимости не дает возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточных признаков. Рассмотрим некоторые из них для знакоположительных рядов, т.е. рядов с неотрицательными членами. Признаки сравнения рядов. Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы. Теорема1. Пусть даны два знакоположительных ряда и Если для всех n выполняется неравенство , то из сходимости ряда   следует сходимость ряда  , из расходимости ряда  следует расходимость ряда  . Обозначим n-е частичные суммы рядов   и   соответственно через   и  . Из неравенства   следует, что  Пусть ряд   сходится и его сумма равна  . Тогда  . Члены ряда  положительны, поэтому   и, следовательно, с учетом неравенства  . таким образом, последовательность   ( ) монотонно возрастает ( ) и ограничена сверху числом  . По признаку существования предела последовательность   имеет предел  , т.е. ряд   сходится.  Пусть теперь ряд   расходится. Так как члены ряда неотрицательны, в этом случае имеем  . Тогда с учетом неравенства   получаем  , т.е. ряд   расходится.

22) Определение. Пусть   – последовательность вещественных чисел. Числовым рядом называется

Сумма   называется частной суммой ряда.

Определение. Если последовательность чисел   сходится к конечному пределу  , то говорят, что ряд сходится и его сумма равна

Если же последовательность   расходится, то говорят, что ряд расходится.

Числа   называются членами ряда. Всякая конечная сумма   называется отрезком ряда.

Если все числа   положительны (неположительны, неотрицательны, отрицательны), ряд называется знакоположительным(знаконеположительным, знаконеотрицательным, знакоотрицательным).

Пример. Рассмотрим ряд

где   – некоторое фиксированное число. Частные суммы этого ряда

Если  , то  .

При   ряд расходится, так как   неограниченно возрастает.

При    . Следовательно, ряд расходится.

При     Следовательно,   не имеет предела, и ряд расходится.

Значит, ряд сходится при  , а при   расходится.

Теорема (критерий Коши для ряда). Ряд

сходится тогода и только тогда, когда

В частности, если ряд сходится, то для любого      . Таким образом, у сходящегося ряда   – необходимое условие сходимости. Однако оно не является достаточным.

Для знаконеотрицательных рядов из ограниченности последовательности частичных сумм следует сходимость ряда.

Теорема (признак сравнения). Если знаконеотрицательный ряд   сходится и существуют   и  :    , то тогда и ряд   сходится.

Доказательство. Пусть  ,  . Тогда при 

Последовательность   возрастает и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел.

Пример. Если для неотрицательного ряда 

где   и  , то ряд   сходится.