32. Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.  Если интервал сходимости представляется в виде  , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.  Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

пример:

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда  .

Решение.

Сделаем замену: u = x + 3. Тогда ряд принимает вид  . Вычислим радиус сходимости:

      

Соответственно, интервал сходимости равен (− ∞; ∞). 

33. Свойства степенных рядов

Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию  , определенную в интервале сходимости  , т. е.

. Свойство1. Функция   является непрерывной на любом отрезке  , принадлежащем интервалу сходимости Свойство 2. Функция   дифференцируема на интервале  , и ее производная   может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.

,для всех  .

Свойство 3. Неопределенный интеграл от функции   для всех   может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е.

для всех  .

34 Ряды Тейлора и Маклорена.

Теорема

если в интервале   функция   имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т. е.  , то ряд Тейлора этой функции сходится к   для любого х из этого интервала , т. е. имеет место равенство

.

Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.

Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.

35. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

1.  . Для этой функции  ,   . По формуле (3.2) составим ряд Маклорена данной функции:

. (3.3) Найдем радиус сходимости ряда (3.3) по формуле (1.3):

.Следовательно, ряд (3.3) сходится при любом значении  .Все производные функции   на любом отрезке   ограничены, т. е

 . Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение

.

36. Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов

Для вычисления приближенного значения функции f (x) в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов (n – конечная величина), а остальные члены отбрасывают. Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Если данный ряд знакочередующийся и его члены удовлетворяют признаку Лейбница, то используется оценка  , где u_n+1   – первый из отброшенных членов ряда. Для вычисления логарифмов эффективна формула

.

Ряд в квадратных скобках сходится тем быстрее, чем больше t.

Пример 1. Оценить погрешность приближенного равенства

,  .

37) Этот небольшой урок позволит не только освоить типовую задачу, которая довольно часто встречается на практике, но и закрепить материалы статьи Разложение функций в степенные ряды. Нам потребуется таблица разложений функций в степенные ряды, которую можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, читатель должен понимать геометрический смысл определенного интеграла и обладать элементарными навыками интегрирования.

На уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры? речь шла о том, что определенный интеграл – это площадь. Но в некоторых случаях интеграл является очень трудным или неберущимся, поэтому соответствующую площадь в большинстве случаев можно вычислить только приближенно.

Например: вычислить определенный интеграл  . Такой интеграл является неберущимся, но геометрически всё хорошо:

Мы видим, что подынтегральная функция  непрерывна на отрезке  , а значит, площадь существует, и определенный интеграл   численно равен заштрихованной площади. Беда только в том, что данную площадь можно вычислить лишь приближенно с определенной точностью. На основании вышеизложенных фактов и  появилась типовая задача курса высшей математики.

Пример 1

Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, с точностью до 0,001

Решение: Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом.

Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Эту распространенную на практике задачу мы очень подробно рассмотрели на урокеРазложение функций в степенные ряды. Кстати, рекомендую всем прочитать, поскольку некоторые вещи, о которых пойдет вещь, могут показаться малопонятными.

Используем табличное разложение: В данном случае 

Обратите внимание, как я записал ряд. Специфика рассматриваемого задания требуетзаписывать только несколько первых членов ряда. Мы не пишем общий член ряда  , он здесь ни к чему.

Чем больше членов ряда мы рассматриваем – тем лучше будет точность. Сколько слагаемых рассматривать? Из практики могу сказать, что в большинстве случаев для достижения точности 0,001 достаточно записать первые 4 члена ряда. Иногда требуется меньше. А иногда больше. Когда больше – это несчастный случай, так как, скорее всего, придется переписывать заново задание.

Следует также отметить, что точность до трёх знаков после запятой самая популярная. Также в ходу и другая точность вычислений, обычно 0,01 или 0,0001.

Теперь второй этап решения: Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд:

Почему это вообще можно сделать? Данный факт пояснялся на уроке Разложение функций в степенные ряды – график бесконечного многочлена   в точности совпадает с графиков функции  ! Причем, в данном случае утверждение справедливо для любого значения «икс», а не только для отрезка интегрования  .

На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое:

Лучше это сделать сразу, чтобы на следующем шаге не путаться с лишними вычислениями.

После упрощений почленно интегрируем всю начинку:

Интегралы здесь простейшие, на этом я не останавливаюсь.

На завершающем этапе вспоминаем школьную формулу Ньютона-Лейбница  . Для тех, кто не смог устоять перед Ньютоном и Лейбницем, есть урок Определенные интегралы. Примеры решений.

Техника вычислений стандартна: сначала подставляем в каждое слагаемое 0,3, а затем ноль. Для вычислений используем калькулятор:

Заметьте, что для решения хватило первых трёх членов ряда, поскольку уже третий член   меньше требуемой точности 0,001. Данный член ряда обычно не приплюсовывают к результату, именно поэтому для окончательного расчёта выбраны только первые два числа:  .

Ответ:  , с точностью до 0,001

Что это получилось за число с геометрической точки зрения?    – это приблизительная площадь заштрихованной фигуры (см. рисунок выше).

Отметим еще один факт:   – каждый следующий член ряда по модулю (без учёта знака) меньше, чем предыдущий. Почему члены ряда неизбежно убывают по модулю? Потому-что полученное нами разложение в ряд сходится к функции  на отрезке интегрирования  .