2.5. Моменты инерции твердого тела

Различают осевые, планарные и полярный моменты инерции твердого тела.

Осевые моменты инерции — скалярные величины, равные сумме произведений масс всех точек тела на квадраты расстояний от этих точек до соответствующих координатных осей.

Возьмем в теле точку (рис. 5) с координатами , , и массой . Тогда осевые моменты инерции , где — расстояние от точки до оси . Аналогично

, (2.7)

Вычисление этих сумм в пределе сводится к вычислению определенных интегралов.

Момент инерции твердого тела относительно оси может определяться по формуле

(2.8)

г де — радиус инерции тела относительно оси — расстояние от оси до такой точки тела, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции этой точки был равен моменту инерции всего тела.

П

Рисунок 5

олярный момент инерции (момент инерции относительно начала координат)

(2.9)

Из (3.7) и (3.9) следует, что

(2.10)

Для шара , то

(2.11)

2.6. Осевые моменты инерции некоторых однородных тел

1. Тонкое кольцо.

М асса распределена по внешней поверхности (рис. 6). ,

2

Рисунок 6

Рисунок 7

. Тонкие пластины.

Масса равномерно распределена по сечению:

а) круглая пластина (диск) (рис. 7): , ;

б ) прямоугольная пластина (рис. 8):

, , ;

в) круглая пластина с отверстием (рис. 9):

Рисунок 8

Рисунок 9

, .

3 . Круговой цилиндр (рис. 10):

, ;

4. Полый круговой цилиндр (рис. 11):

Рисунок 10

Рисунок 11

, ;

5. Тонкий стержень (рис. 12):

, ;

6. К

   Рисунок 12

   руговой конус (рис. 13):

, ;

6. Ш

   Рисунок 13

   Рисунок 14

   ар (рис. 14): , — полярный момент.

2.7. Теорема о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса-Штейнера)

Т еорема. Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями.

Д

Рисунок 15

оказательство. Выберем в центре масс тела начало координат осей . Возьмем в теле точку массы . Проведем на расстоянии от оси ось (рис. 15). Тогда момент инерции относительно этой оси ,

, где — момент инерции тела, относительно оси, проходящей через центр масс; ; , т. к. (начало координат взято в центре масс). Тогда

.

11

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА (динамика)