- •Раздел 3. Динамика (примеры).
- •Тема 1.3 Две основные задачи динамики для материальной точки и их решение
- •Тема 2.4. Геометрия масс. Центр масс механической системы
- •Тема 2.7. Теорема Гюйгенса-Штейнера.
- •Тема 3.7. Теорема о движении центра масс системы
- •Тема 4.3 Импульс силы
- •Тема 4.4 Теорема об изменении количества движения материальной точки
- •Тема 4.5 Теорема об изменении главного вектора количества движения механической системы
- •Тема 4.9 Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и оси
- •Тема 4.11 Работа и мощность сил
- •Тема 4.12 Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Теорема Кенига
- •Тема 4.14 Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
- •Тема 4.16 Потенциальное силовое поле и потенциальная энергия
- •Тема 4.17 . Закон сохранения механической энергии материальной точки и механической системы
Раздел 3. Динамика (примеры).
Тема 1.3 Две основные задачи динамики для материальной точки и их решение
Пример 1.
Материальная точка массы движется в плоскости согласно уравнениям ; (рис. 1). Определить силу, действующую на точку.
Р
Рисунок 1
Ответ: сила, действующая на точку, и направлена параллельно оси .
Пример 2.
Автомобиль массы движется по выпуклому мосту со скоростью . Радиус кривизны в середине моста . Определить силу давления автомобиля на мост в момент, когда он находится на середине моста.
Р
Рисунок 1
, .
Давление на мост равно по модулю реакции и направлено в противоположную сторону.
Пример 3.
В кабине лифта, движущегося вверх равноускоренно без начальной скорости, стоит человек массы . Определить давление человека на пол кабины, если за время кабина поднялась на высоту .
Решение. Объект движения — человек. Ось направим в сторону движения. На человека действует реакция пола и его вес (рис. 3).
З
Рисунок 3
Давление человека на пол равно реакции и направлено в противоположную сторону.
Примечание: При движении лифта вниз ось направляется также вниз. Тогда , т. е. давление в этом случае меньше силы тяжести.
Пример 4.
На наклонную шероховатую плоскость поместили тяжелое тело и сообщили вверх вдоль плоскости начальную скорость . Угол наклона плоскости равен , коэффициент трения скольжения — . Определить: а) закон изменения скорости движения; б) закон движения тела по плоскости; в) время до остановки; г) расстояние, пройденное до остановки.
Решение.
-
Выберем начало координат в начальном положении тела, ось направим в сторону движения тела.
-
И
Рисунок 4
зобразим тело в произвольном положении на оси , покажем силы, действующие на него: вес , силу трения , и нормальную реакцию плоскости (рис. 4). -
Запишем дифференциальное уравнение движения тела по оси , .. Получим . Проинтегрируем дважды это уравнение:
,
.
Найдем постоянные интегрирования с учетом начальных условий движения: при , . Тогда
, .
Закон изменения скорости . Закон движения . Время до остановки определим из условия при . . Пройденное расстояние до остановки .
Пример 5.
Тело массы движется горизонтально в среде, сила сопротивления которой . В начальный момент телу сообщили начальную скорость . Определить при :
а) закон изменения скорости движения;
б) закон движения тела;
в) время движения, за которое скорость уменьшилась в 2 раза;
г) пройденное за это время расстояние.
Решение.
1
Рисунок 5
2. Покажем в произвольном положении тела силы, действующие на него: вес , силу сопротивления , нормальную реакцию (или выталкивающую силу вязкой среды) (рис. 5).
3. Запишем дифференциальное уравнение движения тела вдоль оси . , т. к. . Обозначим . Тогда
— закон изменения скорости.
Представим . Разделим переменные и проинтегрируем: (взят неопределенный интеграл). Постоянную интегрирования найдем с учетом начальных условий движения: при ,
.
Примечание: Закон движения . Время при .
Примечание: Пройденное за это время расстояние .