- •Раздел 3. Динамика. Основные понятия классической механики
- •Тема 1. Введение в динамику материальной точки.
- •1.1. Законы динамики материальной точки (законы Галилея—Ньютона)
- •1.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •1.3. Две основные задачи динамики для материальной точки и их решение
- •Тема 2. Введение в динамику механической системы
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Классификация сил
- •2.3. Дифференциальные уравнения движения механической системы
- •2.4. Геометрия масс. Центр масс механической системы
- •2.5. Моменты инерции твердого тела
- •2.6. Осевые моменты инерции некоторых однородных тел
- •2.7. Теорема о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса-Штейнера)
1.3. Две основные задачи динамики для материальной точки и их решение
Первая (прямая) задача.
Зная закон движения и массу точки, определить силу, действующую на точку.
Для решения этой задачи необходимо знать ускорение точки. В задачах этого типа оно может быть задано непосредственно либо задан закон движения точки, в соответствии с которым оно может быть определено.
1. Так, если движение точки задано в декартовых координатах , , , то определяются проекции ускорения на оси координат , и , а затем — проекции , и силы на эти оси:
, , . (1.5)
Модуль и направление силы определяется по формулам
, , (1.6)
2. Если точка совершает криволинейное движение и известен закон движения , траектория точки и ее радиус кривизны , то удобно пользоваться естественными осями, а проекции ускорения на эти оси определяются по известным формулам: а) на касательную ось — касательное ускорение; б) на главную нормаль — нормальное ускорение. Проекция ускорения на бинормаль равна нулю. Тогда проекции силы на естественные оси
, (1.7)
Модуль и направление силы определяется по формулам .
, . (1.8)
3. Ускорение точки может быть также определено на основании формул равнопеременного движения.
; (1.9)
где — время движения точки; — пройденное за это время расстояние; и — начальная и конечная скорости точки; — касательное ускорение.
При прямолинейном движении , , следовательно, ускорение при определяется по одной из формул
, (1.10)
Вторая (обратная) задача.
Зная действующие на точку силы, ее массу и начальные условия движения, определить закон движения точки или какие-либо другие ее кинематические характеристики.
Начальные условия движения точки в декартовых осях — это координаты точки , , и проекции начальной скорости на эти оси , и в момент времени, соответствующий началу движения точки и принимаемый равным нулю.
Решение задач этого типа сводится к составлению дифференциальных уравнений (или одного уравнения) движения материальной точки и их последующему решению путем непосредственного интегрирования или с использованием теории дифференциальных уравнений.
Тема 2. Введение в динамику механической системы
2.1. Основные понятия и определения
Механической системой или системой материальных точек называют совокупность взаимодействующих между собой материальных точек.
Примеры механических систем:
материальное тело, в том числе и абсолютно твердое, как совокупность взаимодействующих материальных частиц; совокупность взаимосвязанных твердых тел; совокупность планет солнечной системы и т. д.
Стая летящих птиц не является механической системой, т. к. между птицами нет силового взаимодействия.
Свободная механическая система — система, на движение точек которой не наложено никаких связей. Например: движение планет солнечной системы.
Несвободная механическая система — система, на движение точек которой наложены связи. Например: движение деталей в любом механизме, машине и т. п.