Вопрос 3. Критерий устойчивости Найквиста

Пусть передаточная функция разомкнутой линейной САУ , тогда . Введём вспомогательную функцию

.

Числитель этой функции представляет собой левую часть характеристического уравнения замкнутой системы, а знаменатель – левую часть характеристического уравнения разомкнутой системы.

Рассмотрим годограф вспомогательной функции при изменении ω в пределах :

,

где - аргумент (фаза) функции (замкнутая система), - аргумент (фаза) функции (разомкнутая система). Требование устойчивости САУ в замкнутом состоянии выразится в равенстве (критерий Михайлова (10)), но

.(1)

Пусть система в разомкнутом состоянии неустойчива и имеет l корней в правой полуплоскости (), с учётом изменения ω от 0 до ∞

,

и, следовательно, из () и () имеем

.()

Так как вспомогательная функция отличается от частотной характеристики разомкнутой системы на +1, то условие устойчивости () можно непосредственно перенести на .

Теорема (критерий Найквиста). Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ охватывал l/2 раз в положительном направлении точку (-1, i0), где l – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости. Другими словами, левее точки (–1, 0) разность между числом положительных и отрицательных переходов КЧХ через вещественную ось комплексной плоскости должна равняться .

Из этой теоремы непосредственно вытекает

Следствие. Если разомкнутая система устойчива (l=0), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф при изменении ω от 0 до ∞ не охватывал точку (-1, i0).

Заметим, что для применении частотного критерия устойчивости Найквиста необходимо знать, устойчива или неустойчива система в разомкнутом состоянии. При этом, если система в разомкнутом состоянии неустойчива, то следует определить количество корней её характеристического уравнения, имеющих положительные вещественные части. Только в этом случае можно применить частотный критерий устойчивости Найквиста к исследованию устойчивости замкнутой системы.

Пример. На рисунке изображён годограф частотной характеристики для разомкнутого колебательного звена. Как видно из рисунка , этот годограф не охватывает точку (-1, i0), и так как разомкнутое колебательное звено устойчиво ( ), то устойчивым будет и замкнутое колебательное звено.

Примеры годографов Найквиста статических САР (ω[0...+))

1. САР на колебательной границе устойчивости.

2. Абсолютно устойчивая САР (устойчива при любом уменьшении K).

3. Неустойчивая САР.

4. Условно устойчивая САР (только при изменении K в некотором диапазоне).

Примеры годографов Найквиста астатических сар и сар с чисто мнимыми корнями

1. Устойчивая САР с астатизмом первого порядка.

2. Устойчивая САР с астатизмом второго порядка.

3. Устойчивая САР с астатизмом третьего порядка.

4. Неустойчивая САР с консервативным звеном.

5. Устойчивая САР с консервативным звеном (коррекция выполнена фазовращающим звеном).

Следует обратить внимание на важные преимущества критерия устойчивости Найквиста по сравнению с критериями Рауса – Гурвица и Михайлова:

1. При использовании этого критерия нет необходимости в знании характеристического уравнения замкнутой системы – вся необходимая информация может быть получена экспериментально.

2. Критерий применим для систем с распределенными параметрами и транспортным запаздыванием, передаточные функции которых трансцендентны.