17. Необходимое и достаточное условие чтобы ослу имела ненулевое решение

Определение: СЛУ над полем Р называется однородной если все ее свободные члены равны 0, в противном случае она называется неоднородной.

Теорема: ОСЛУ всегда совместна т.к. имеет по крайней мере нулевое решение. Для того чтобы Ослу имела не нулевое решение необходимо чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных. В частности ОСЛУ с m уравнениями и n неизвестными имеет отличные от 0 решения тогда и только тогда когда .

Утверждение этой теоремы является следствием критерия определенности.

Пусть - какое-нибудь отличное от нуля решение ОСЛУ, это решение можно рассматривать как строку из n чисел. Если С – произвольное число то ясно что строка тоже решение ОСЛУ. Всякая линейная комбинация решений ОСЛУ является решением этой системы.

18. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.

Определение: Линейно-независимая система решений ОСЛУ называется фундаментальной если каждое решение ОСЛУ является комбинацией этих решений.( Совокупность max числа линейно-независимых решений называется фундаментальной системой решений).

Теорема: Если то ОСЛУ обладает ФСР.

Доказательство: Пусть и пусть для определенности минор M_r≠0 расположен в левом верхнем углу матрицы А. Перенесем слагаемые содержащие свободные неизвестные x_r+1…x_n в правую часть уравнения получим систему: .

Придавая свободным неизвестным значения мы из системы (2) получим . Это дает нам строку-решение . Затем придавая свободным неизвестным значения (0,1,0…0) получим . Это дает нам строку-решение и т.д. Продолжая этот процесс мы найдем всего k=n-r решений: . Эти n-r решений независимы т.к. ранг образованной ими матрицы имеет ранг n-r решений.

Покажем теперь что решения е₁,е₂… е_n-r образуют ФСР. Согласно определению ФСР для этого надо показать что каждое решение ОСЛУ можно представить в виде линейной комбинации решений е₁,е₂…е_n-r.

Пусть - произвольное решение ОСЛУ. Рассмотрим строку . Легко видеть что все элементы стоящие на последних n-r местах этой строки е₀ будут равны 0, т.е. . Т.к. е₀ линейная комбинация решений то строка е₀ сама будет решением ОСЛУ. А т.к. значение всех свободных неизвестных в строке е₀=0 то из однородности в этом случае системы (2) определитель которой отличен от 0, получаем что и значение всех неизвестных в е₀=0, т.е. е₀ есть 0 строка. Отсюда следует что (ч.т.д.)

Таким образом можно сказать что общее решение ОСЛУ имеет вид где е₁,е₂…е_n-r - ФСР, а С₁,С₂…C_n-r – произвольные числа.

19. Теорема о связи между решениями неоднородных и соответствующих однородных систем

Важно отметить: Общее решение неоднородной СЛУ равно сумме общего решения соответствующей ОСЛУ и произвольного но фиксированного решения СЛУ. Отсюда следует что если е₁,е₂…е_n-r - ФСР (ОСЛУ) и x₀ - произвольное фиксированное решение СЛУ то общее решение СЛУ имеет вид , где С₁,С₂…C_n-r – произвольные числа.

Сформулированное утверждение следует из следующих очевидных утверждений : 1) Сумма любого решения неоднородной СЛУ и соответствующей ей ОСЛУ является решением неоднородной СЛУ.

2) Разность двух произвольных решений неоднородной системы двух уравнений является решением соответствующей ОСЛУ.

Матричная форма доказательств этих утверждений самая короткая.