35. Векторные уравнения прямой и плоскости.

Ясно что точка М будет принадлежать плоскости тогда и только тогда когда или . Уравнение (3) имеет место и для ОДСК. Уравнение (3) называется векторным уравнением плоскости.

Если и направляющие вектора плоскости, тогда в качестве нормального вектора плоскости можно взять , тогда (3) перепишем в виде . Уравнение (3’) в координатyой форме только для ДПСК имеет вид А(х-х₀)+ В(у-у₀)+ С(z-z₀)=0 (3’’).

Уравнение (3’’) является уравнением плоскости проходящей через точку М₀ (х₀ у₀ z₀) заданному вектору (А,В,С)

Векторные уравнения прямой линии в пространстве. Точка М принадлежит прямой тогда и только тогда когда , т.е.

Посмотрим теперь как связаны между собой два общих уравнения определяющих одну и ту же прямую линию или плоскость в ДПСК. Пусть для определенности даны два уравнения плоскости П: (4). Векторы - являются нормальными векторами в одной и той же плоскости. Значит

. Умножим обе части (4) второго уравнения на t и вычтем из первого. Получим . Следовательно коэффициенты общих уравнений определяющих одну и туже прямую или плоскость пропорциональны.

Признаки параллельности плоскости и прямой на плоскости. Плоскости и прямые на плоскости задаваемые своими общими уравнениями параллельны тогда и только тогда когда соответствующие коэффициенты при переменных пропорциональны. Если пропорциональны все коэффициенты то плоскости и прямые совпадают.

36. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.

Система двух уравнений первой степени , в которых коэффициенты x,y,z не пропорциональны определяют некоторую прямую EF в пространстве как линию пересечения двух плоскостей. Уравнения (8) называются общими уравнениями прямой в пространстве. Любое решение системы (8) x₀,y₀,z₀ дает нам координаты начальной точки М(x₀,y₀,z₀). Направляющий вектор прямой

Приведем уравнение прямой к каноническому виду . Учитывая написанное выше получим .

37, Уравнение прямой через две точки. Уравнение прямой проходящей через три точки. Признак параллельности прямой и плоскости.

Уравнения в отрезках.

Уравнение прямой проходящей через две точки.

Уравнение прямой проходящей через три точки.

Точка М(x,y,z) принадлежит плоскости тогда и только тогда когда - компланарны, т.е. .

- искомое уравнение плоскости

Признак параллельности прямой и плоскости.

Если прямая задана своими общими уравнениями то в качестве направляющего вектора можно взять . тогда (9) примет вид

или . Отсюда следует что три плоскости пересекаются в одной точки тогда и только тогда когда Т.к. это неравенство означает что прямая линия по которой пересекаются какие-нибудь две из плоскостей не параллельна третьей.

Уравнения в отрезках. Уравнения вида называется уравнением плоскости в отрезках. - уравнение прямой на плоскости в отрезках. Геометрический смысл чисел a,b,c: a,b,c – это величины отрезков отсекаемых плоскостью от осей координат Ox,Oy,Oz соответственно.(точка О – начало отрезков).