- •1. .Понятие числового поля и матрицы над полем р. Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •2. Свойства определителя матрицы
- •2) Теорема о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.
- •3) Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.
- •4). Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •3. Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •4 Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •7. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •8. Теорема об определителе произведения матриц.
- •9 Теорема о существовании обратной матрицы.
- •10.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.
- •11 Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •12. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.
- •13. Системы линейных уравнений. Критерий совместности
- •14. Системы линейных уравнений. Критерий определенности.
- •15. Решение совместной определенной системы линейных уравнений.
- •16. Решение совместной неопределенной системы линейных уравнений.
- •17. Необходимое и достаточное условие чтобы ослу имела ненулевое решение
- •18. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •19. Теорема о связи между решениями неоднородных и соответствующих однородных систем
- •20. Линейные операции над векторами и их свойства.
- •21 Определение разности двух векторов. Доказать что для любых векторов и разность существует и единственна.
- •22. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •23. Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •24 Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •25. Вывод формул выражающих координаты точки в одной дск через координаты этой же точки в другой дск.
- •26 Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •27. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •28. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •29. Смешанное произведение через координаты
- •33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления( без доказательства).
- •32. Общие уравнения плоскости и прямой.
- •33. Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •34. Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •35. Векторные уравнения прямой и плоскости.
- •36. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •37, Уравнение прямой через две точки. Уравнение прямой проходящей через три точки. Признак параллельности прямой и плоскости.
- •38.Полупространство, полуплоскость. Расстояние от точки до плоскости
- •39. Нормальным уравнением плоскости. Отклонение???
- •40. Расстояние между параллельными прямыми
- •42.Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса.
- •43. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты гиперболы..
- •44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.
- •45. Эксцентриситет эллипса и гиперболы. Директрисы теорема
- •46. Эксцентрисетет параболы и т.Д
- •47. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.
- •48. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •49. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения
32. Общие уравнения плоскости и прямой.
Уравнения первой степени или линейные уравнения связывающие координаты точки в пространстве имеют вид . Аналогично на плоскости .
Теорема1: В общей ДСК в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением (1). Обратно каждое линейное уравнение (1) в ОДСК определяет плоскость.
Теорема2: В ОДСК на плоскости каждая прямая линия может быть задана уравнением(2). Обратно каждое линейное уравнение (2) в ОДСК на плоскости определяет прямую линию.
Доказательство: Обе теоремы доказываются одинаково. Докажем теорему 1. Пусть задана некоторая плоскость. Систему координат выберем так: точка О и два базисных вектора поместим в плоскость, а вектор выполним произвольно. В такой СК наша плоскость будет иметь линейное уравнение Z=0. В силу теоремы об инвариантности наша плоскость будет иметь линейное уравнение и в любой другой ДСК.
Обратно пусть мы имеем ОДСК и линейное уравнение(1). Докажем что это линейное уравнение определяет плоскость. Перейдем к другой ДСК. Для определенности пусть С≠0. Сделаем замену переменных: . Покажем что эта система равенств определяет переход к новой системе координат( выражает связь между старыми и новыми координатами точки). .
Переход к новой СК:
Новое начало СК в старой системе . Уравнение плоскости будет иметь уравнение(т.е. уравнение (1) переходит в новой СК в уравнение) Z’=0. Значит и уравнение(1) определяет плоскость. (ч.т.д.)
Уравнение (1) и (2) называются общими уравнениями плоскости и прямой на плоскости соответственно.
Параметрические уравнения прямой и плоскости.
А)Параметрические уравнения прямой. Прямая линия на плоскости или в пространстве полностью определяется точкой, лежащей на этой прямой( начальная точка) и вектором, параллельным этой прямой(направляющим вектором). Аналогично плоскость полностью определяется точкой принадлежащей плоскости и двумя неколлинеарными векторами в этой плоскости(начальная точка и направляющие вектора в плоскости). Рассмотрим точку М радиус вектор которой . Ясно что точка М будет принадлежать прямой тогда и только тогда когда , где t - некоторое определенное вещественное число. Другими словами для любой точки М принадлежащей прямой существует t, такое что имеет место (4) и наоборот, какое бы число t мы не подставили в (4) вместо t, вектор определяемый (4) будет радиус-вектором некоторой точки на прямой.
В формуле (4) переменная величина t пробегающая все вещественные значения называется параметром. А уравнение (4) векторно-параметрическим уравнением прямой. Векторно-параметрическое уравнение прямой выглядит одинаково и для прямой на плоскости и в пространстве. Но при разложении по базису оно сводится в одном случае к двум а в другом к трем скалярным уравнениям. В пространстве: - параметрические уравнения прямой в пространстве.
- параметрические уравнения прямой на плоскости.
Б) Пусть точка М произвольная точка в пространстве. Начало вектора лежит в плоскости следовательно его конец – точка М лежит на плоскости тогда и только тогда когда этот вектор лежит в рассматриваемой плоскости. Поэтому точка М лежит в плоскости тогда и только тогда когда найдутся t1 и t2, такие что . Другими словами точка М с радиус вектором принадлежит плоскости тогда и только тогда когда существуют t1 и t2, такие что выполняется (7). И наоборот, какие бы числа мы не подставили в (7) вместо t1 и t2 вектор определенный уравнением (7) будет радиус-вектором точки лежащей в плоскости. Переменные t1 и t2 пробегающие все вещественные значения называются параметрами. А уравнение (7) называется векторно-параметрическим уравнением плоскости. Уравнение (7) эквивалентно трем скалярным уравнениям - параметрические уравнения плоскости.