38.Полупространство, полуплоскость. Расстояние от точки до плоскости

Определение: Множество точек М пространства удовлетворяющих условию

называется полупространством определяемым плоскостью П и ее нормальным вектором .

Это определение равносильно - уравнение полупространства. - нормальный вектор плоскости. . - уравнение другого полупространства т.к. плоскость разбивает пространство на два полупространства. Неравенство (1) в координатной форме: . Уравнение другого полупространства: . Аналогично определяется что такое плоскость и полуплоскость. И доказывается что - одна полуплоскость, а - другая полуплоскость. Пусть даны две точки М₁(x₁,y₁,z₁) и М₂(x₂,y₂,z₂). Если и имеют одинаковые(разные) знаки то точки М₁ и М₂ находятся по одну(по разные) стороны от плоскости .

Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки М до плоскости есть высота параллелепипеда (см. рисунок). . Ясно что направляющие векторы можно выбрать так чтобы . Тогда

. В координатной форме . Уравнение называется нормированным уравнением плоскости. Расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине результата подстановки координат её точки в левую часть нормированного уравнения плоскости.

39. Нормальным уравнением плоскости. Отклонение???

Уравнение вида где + если D<0 и – если D>0 называется нормальным уравнением плоскости.

40. Расстояние между параллельными прямыми

Пучки и т. д

41. Расстояние от точки до прямой Нормальное уравнение прямой на плрскости отклонение от этой прямой

Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки М до прямой равно высоте параллелограмма. или где М(x₀,y₀) – некоторая точка прямой, а х,у координаты вектора .

Учитывая что формулу (3) перепишем в виде . Из (3) следует что где нормальный вектор прямой. Уравнение вида называется нормированным уравнением прямой на плоскости. Таким образом расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине результата подстановки её координат в левую часть её нормированного уравнения прямой.

Нормальное уравнение прямой на плоскости где + если C<0 и – если C>0.

Таким образом нормальное уравнение прямой если сумма квадратов коэффициентов при x,y,z равна 1 и свободный член отрицательный.

Расстояние между непараллельными прямыми. Пусть p непараллельна q. В этом случае существуют две такие параллельные плоскости P и Q что прямая p лежит в P а прямая q лежит в Q. Если уравнения прямых и то плоскость Р имеет начальную точку с радиус вектором и направляющими векторами и . А плоскость Q начальную точку с радиус вектором и теми же самыми направляющими векторами, так как Р параллельна Q.

Теорема: Прямые с уравнениями и пересекаются тогда и только тогда когда h=0.

Вычисления углов: а) Угол между двумя прямыми это угол между направляющими векторами этих прямых.

б) Угол между прямой и плоскостью есть по определению угол ψ между прямой d и ее проекцией на плоскости. Получаем два угла ψ и π- ψ(тупой и острый). Каждый из этих углов заключен между 0 и π. В зависимости от выбора направляющего вектора прямой d и нормального вектора плоскости П имеем 4 угла попарно вертикальных. Обозначим через φ угол между любым вектором направляющим и любым нормальным вектором плоскости . Т.к. угол ψ заключен между 0 и π то его sin≥0, Причем

в) За угол между плоскостями принимают угол между любыми нормальными векторами к этим плоскостям. Это опять два угла – острый и тупой, дополняющие друг друга до π.