- •1. .Понятие числового поля и матрицы над полем р. Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •2. Свойства определителя матрицы
- •2) Теорема о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.
- •3) Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.
- •4). Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •3. Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •4 Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •7. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •8. Теорема об определителе произведения матриц.
- •9 Теорема о существовании обратной матрицы.
- •10.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.
- •11 Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •12. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.
- •13. Системы линейных уравнений. Критерий совместности
- •14. Системы линейных уравнений. Критерий определенности.
- •15. Решение совместной определенной системы линейных уравнений.
- •16. Решение совместной неопределенной системы линейных уравнений.
- •17. Необходимое и достаточное условие чтобы ослу имела ненулевое решение
- •18. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •19. Теорема о связи между решениями неоднородных и соответствующих однородных систем
- •20. Линейные операции над векторами и их свойства.
- •21 Определение разности двух векторов. Доказать что для любых векторов и разность существует и единственна.
- •22. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •23. Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •24 Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •25. Вывод формул выражающих координаты точки в одной дск через координаты этой же точки в другой дск.
- •26 Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •27. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •28. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •29. Смешанное произведение через координаты
- •33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления( без доказательства).
- •32. Общие уравнения плоскости и прямой.
- •33. Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •34. Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •35. Векторные уравнения прямой и плоскости.
- •36. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •37, Уравнение прямой через две точки. Уравнение прямой проходящей через три точки. Признак параллельности прямой и плоскости.
- •38.Полупространство, полуплоскость. Расстояние от точки до плоскости
- •39. Нормальным уравнением плоскости. Отклонение???
- •40. Расстояние между параллельными прямыми
- •42.Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса.
- •43. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты гиперболы..
- •44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.
- •45. Эксцентриситет эллипса и гиперболы. Директрисы теорема
- •46. Эксцентрисетет параболы и т.Д
- •47. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.
- •48. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •49. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения
2. Свойства определителя матрицы
1)Теорема: Определитель порожденный матрицей не изменится если в ней поменять местами строки со столбцами.
Доказательство: А) Определим вначале знак члена определителя при произвольном порядке сомножителей.
aα1, β1, aα2, β2… aαk, βk… aαl, βl… aαn, βn (*)
α1, α2… αk… αl ...αn (1) – перестановка номеров строк.
β1, β2… βk… βl ...βn (1’) – перестановка индексов столбцов.
Обозначим число инверсий в перестановке (1) – S1, в перестановке (1’) – S1’. Рассмотрим сумму S1+ S1’, и покажем, что четность или нечетность этой суммы не меняется ни при каком изменении порядка множителей. Ясно что от одного порядка множителей к другому можно перейти с помощью конечного числа транспозиций множества. Поэтому достаточно доказать, что характер четности числа S1+ S1’ не изменится при одной транспозиции множества в произведении(*).
aα1, β1, aα2, β2… aαl, βl… aαk, βk… aαn, βn (**)
α1, α2… αl… αk ...αn (2)
β1, β2… βl… βk ...βn (2’)
Число инверсий в перестановке (2) – S2, в перестановке(2’) - S2’. Рассмотрим число S2+S2’. S1 и S2 имеют разный характер четности. S1’ и S2’ имеют разный характер четности следовательно суммы S1+ S1’ и S2+S2’ имеют одинаковый характер четности. Напишем множители рассматриваемого члена определителя (*) в порядке следования строк: a1, j1, a2, j2…an, jn (3).
Обозначим число инверсий столбцов через S, число инверсий в перестановке строк =0. Таким образом по доказанному числа 0+S и S1+S1’ имеют одинаковый характер четности. Следовательно, знак члена определителя (*):
(-1)S=(-1)S1+S1’
В)
Рассмотрим произвольный член определителя D: aα1, β1, aα2, β2… aαn, βn - он будет и членом определителя D1, т.к. в нем в качестве множителя взят один и только один элемент из каждой строки и столбца матрицы определителя D1(в D первые индексы – номера строк, вторые – номера столбцов, а в определителе D1 – наоборот).
Покажем что знаки этого члена, как в D , так и в D1 будут одинаковы. Это следует из того что знаки этого члена и в D и в D1 определяются суммой числа инверсий в перестановках первых и вторых индексов. D=D1 .(ч.т.д.)
2) Теорема о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.
Теорема: Если в матрице определителя поменять местами 2 строки, то определитель изменит знак на противоположный.
Доказательство:
a1, γ1*a2, γ2*…*ak, γk*…*al, γl*…*an, γn – член определителя D, он будет и членом определителя D1, но знак его здесь будет противоположный.
Знак этого члена определителя в D: γ1,γ2…γk…γl…γn (1)
А в D1: a1, γ1*a2, γ2*…* al, γl *…* ak, γk *…*an, γn
γ1,γ2…γl…γk…γn (2)
Перестановки (1) и (2) отличаются одной транспозицией, значит характер четности этих перестановок разный. Следовательно рассматриваемый член в D и в D1 имеет разные знаки. Следовательно D= – D1.(ч.т.д.)
Следствие: Определитель с двумя одинаковыми строками равен 0.
Доказательство: Допустим в матрице определителя D две одинаковые строки. Поменяем местами эти две одинаковые строки. Определитель соответствующий новой матрице обозначим D1. Согласно доказанной теореме D= – D1. Но т.к. мы поменяли две одинаковые строки и матрица не изменилась, следовательно, D=D1. Получаем и D=0.(ч.т.д.)