- •1. .Понятие числового поля и матрицы над полем р. Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •2. Свойства определителя матрицы
- •2) Теорема о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.
- •3) Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.
- •4). Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •3. Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •4 Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •7. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •8. Теорема об определителе произведения матриц.
- •9 Теорема о существовании обратной матрицы.
- •10.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.
- •11 Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •12. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.
- •13. Системы линейных уравнений. Критерий совместности
- •14. Системы линейных уравнений. Критерий определенности.
- •15. Решение совместной определенной системы линейных уравнений.
- •16. Решение совместной неопределенной системы линейных уравнений.
- •17. Необходимое и достаточное условие чтобы ослу имела ненулевое решение
- •18. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •19. Теорема о связи между решениями неоднородных и соответствующих однородных систем
- •20. Линейные операции над векторами и их свойства.
- •21 Определение разности двух векторов. Доказать что для любых векторов и разность существует и единственна.
- •22. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •23. Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •24 Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •25. Вывод формул выражающих координаты точки в одной дск через координаты этой же точки в другой дск.
- •26 Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •27. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •28. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •29. Смешанное произведение через координаты
- •33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления( без доказательства).
- •32. Общие уравнения плоскости и прямой.
- •33. Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •34. Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •35. Векторные уравнения прямой и плоскости.
- •36. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •37, Уравнение прямой через две точки. Уравнение прямой проходящей через три точки. Признак параллельности прямой и плоскости.
- •38.Полупространство, полуплоскость. Расстояние от точки до плоскости
- •39. Нормальным уравнением плоскости. Отклонение???
- •40. Расстояние между параллельными прямыми
- •42.Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса.
- •43. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты гиперболы..
- •44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.
- •45. Эксцентриситет эллипса и гиперболы. Директрисы теорема
- •46. Эксцентрисетет параболы и т.Д
- •47. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.
- •48. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •49. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения
28. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства.
Пусть ,,- какие либо три вектора; - смешанное произведение векторов ,,. Следующая теорема позволяет выяснить геометрический смысл смешанного произведения.
Теорема1: Пусть ,, - три некомпланарных вектора. Отложим их от одной точки О. И построим на этих векторах параллелепипед. объему построенного параллелепипеда с + или – в зависимости от того какой является тройка векторов: правой(+) или левой(-).
Отложим от точки О . , где S – площадь параллелограмма. , где h – высота параллелепипеда, ,, - правая тройка значит +, левая значит - . (ч.т.д.)
Теорема 2: Для того чтобы три вектора ,,были компланарны (линейно зависимы) необходимо и достаточно чтобы (1)
Доказательство: Пусть ,,–компланарны, Если бы эти векторы были не компланарны, тогда на этих векторах можно построить параллелипипед. Объём которого равен V=а,b*c0- а это противоречит (1). Получили противоречие ,,–компланарны.(ч.т.д.)
Из теорем 1 и 2 следует что т.к. модули и левой и правой частей равны объему одного и того же параллелепипеда и тройки , векторов имеют одинаковую ориентацию. Поэтому в дальнейшем смешанное произведение будем обозначать просто . Смешанное произведение меняет знак при перестановке двух сомножителей нечетное число раз, т.к. каждая перестановка двух сомножителей меняет ориентацию тройки векторов.ому в дальнейшем смешанное произведение будем обозначать просто евой(-).
29. Смешанное произведение через координаты
Теорема 3: Смешанное произведение векторов выражается через их координаты , , в произвольном базисе следующей формулой:
Доказательство:
(ч.т.д.)
Если базис правый ортонормированный то и тогда
Необходимое и достаточное условие компланарности( линейной зависимости) трех векторов можно теперь записать в координатном виде
33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления( без доказательства).
Двойным векторным произведением называется произведение .
Можно доказать что для любых трех векторов ,,
30-31, Алгебраические линии и поверхности. Теоремы об инвариантности( неизменности) порядка.
Определение1: Алгебраической поверхностью называется множество точек, которое в какой-нибудь ДСК может быть задано уравнением вида . - неотрицательные целые числа. Наибольшее из этих чисел называется степенью уравнения или порядком поверхности.
Определение2: Алгебраической линией на плоскости называется множество точек которое в какой-нибудь ДСК на плоскости может быть определено уравнением . называются степенью уравнения или порядком линии.
Теорема об инвариантности( неизменности) порядка: 1. Если поверхность в некоторой ДСК может быть задана уравнением вида (1) то и в любой другой ДСК она может быть задана уравнением того же вида имеющим ту же степень.
2. Если линия на плоскости в некоторой ДСК может быть задана уравнением вида (2) то и в любой другой ДСК она может быть задана уравнением того же вида имеющим туже степень.
Доказательство: Обе теоремы доказываются одинаково. Докажем теорему 2. С этой целью перейдем от ДСК о которой речь шла в определении к произвольной новой ДСК. Новые координаты . тобы получить новое уравнение линии нужно x и y подставить в (2). Ясно что при этом превратится в многочлен в степени (k+e). Степень суммы многочленов не превышает степени старшего члена( степень могла бы понизиться если бы члены с наибольшей степенью взаимно уничтожились). Таким образом мы доказали пока что алгебраическая линия в любой ДСК имеет уравнение вида (2) причем степень уравнения при переходе от одной ДСК к другой не может повыситься. Остается доказать что она не может и понизиться и должна оставаться постоянной. Предположим противное, что при переходе от одной СК к другой степень понизилась, тогда при обратном переходе она должна повыситься что невозможно.(ч.т.д.)