- •1. .Понятие числового поля и матрицы над полем р. Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •2. Свойства определителя матрицы
- •2) Теорема о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.
- •3) Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.
- •4). Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •3. Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •4 Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •7. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •8. Теорема об определителе произведения матриц.
- •9 Теорема о существовании обратной матрицы.
- •10.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.
- •11 Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •12. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.
- •13. Системы линейных уравнений. Критерий совместности
- •14. Системы линейных уравнений. Критерий определенности.
- •15. Решение совместной определенной системы линейных уравнений.
- •16. Решение совместной неопределенной системы линейных уравнений.
- •17. Необходимое и достаточное условие чтобы ослу имела ненулевое решение
- •18. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •19. Теорема о связи между решениями неоднородных и соответствующих однородных систем
- •20. Линейные операции над векторами и их свойства.
- •21 Определение разности двух векторов. Доказать что для любых векторов и разность существует и единственна.
- •22. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •23. Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •24 Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •25. Вывод формул выражающих координаты точки в одной дск через координаты этой же точки в другой дск.
- •26 Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •27. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •28. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •29. Смешанное произведение через координаты
- •33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления( без доказательства).
- •32. Общие уравнения плоскости и прямой.
- •33. Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •34. Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •35. Векторные уравнения прямой и плоскости.
- •36. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •37, Уравнение прямой через две точки. Уравнение прямой проходящей через три точки. Признак параллельности прямой и плоскости.
- •38.Полупространство, полуплоскость. Расстояние от точки до плоскости
- •39. Нормальным уравнением плоскости. Отклонение???
- •40. Расстояние между параллельными прямыми
- •42.Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса.
- •43. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты гиперболы..
- •44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.
- •45. Эксцентриситет эллипса и гиперболы. Директрисы теорема
- •46. Эксцентрисетет параболы и т.Д
- •47. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.
- •48. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •49. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения
26 Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается или . (1)
Если хотя бы один из векторов – нулевой вектор то скалярное произведение равно 0.
Через m и n обозначим оси определяемые единичными векторами и .
Вместо (1) мы можем написать
Понятие скалярного произведения имеет свой источник в физике. Например если -сила, точка приложения которой перемещается из начала вектора в конец, то работа при этом совершаемая равна .
Свойства скалярного произведения:
1) (2) – коммутативность.
2) (3)
(3’)
Доказательство: (3) – доказано.
3)Дистрибутивность
Доказательство :
Из первых трех свойств вытекает, что скалярное произведение двух линейных комбинаций векторов можно производить почленно. Отметим некоторые геометрические свойства скалярного произведения:
4)Для того, чтобы , необходимо и достаточно чтобы хотя бы один из векторов равнялся 0 или .
5)
Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов:
Пусть в пространстве задана ДПСК. Составим таблицу скалярных произведений базисных векторов.
Пусть
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух ненулевых векторов:
Если и вектор составляет с осями координат углы тогда . называются направляющими вектора .
Если то
.
Пусть задана координата двух точек и тогда
.
27. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.
Определение: Векторным произведением векторов и называется вектор обозначаемый который удовлетворяет трем следующим условиям: 1.
2. Вектор перпендикулярен векторам и .
3. Тройка векторов ,, является правой.
Рассмотрим основные свойства векторного произведения: 1) является необходимым и достаточным условием линейной зависимости( коллинеарности) векторов и .
2) Если не параллелен то площади параллелограмма построенного на векторах и , точка О – произвольная. Это утверждение следует из условия 1 векторного произведения векторов и известной теоремы из школьной геометрии: площадь треугольника
3)
Доказательство:
4)
Доказательство: Докажем равенство (а). При α=0 или параллельном утверждение очевидно. Пусть α≠0 и не параллельно .
Правая часть:
Левая часть: 1. α >0
2. α <0
Векторы в обеих частях коллинеарны так как и тот и другой перпендикулярны векторам и , осталось доказать что эти векторы соноправленны. Если α >0 то эти векторы направлены также как и . Если α <0, то каждый из этих векторов направлен противоположно вектору (ч.т.д.)
Равенство (б) следует из (а) и свойства (3):
5) Дистрибутивность:
Доказательство: Докажем равенство (а’). Пусть единичный вектор(орт ).. Сначала докажем равенство .
От точки О отложим векторы и . Через точку О проведем плоскость перпендикулярную . Повернем по часовой стрелке на 90 градусов если смотреть с конца вектора . . - правая тройка. . Значит . Докажем равенство(*). Повернем треугольник OA’B’ на угол 90 градусов если смотреть с конца вектора .
(*) доказана. Теперь обе части равенства (*) умножим на : (ч.т.д.)
Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов. Если задано разложение векторов и по векторам базиса то мы можем записать на основании свойств 4 и 5:
В ортонормированном базисе : . (+ если тройка векторов правая, - если левая)
Для определенности будем считать что базис всегда правый. Таким образом получим следующее утверждение: В ортонормированном базисе векторное произведение векторов выражается через координаты сомножителей следующей формулой: .
Чтобы запомнить эту формулу достаточно заметить что если разложить определитель по элементам первой строки, то мы получим правую часть(**).
Таким образом произведение не
Замечание: Векторное обладает свойством ассоциативности. Например: