§9. Итерированные ядра и резольвента интегральных уравнений Вольтерра

В полученных выражениях (8.3) коэффициентов ряда Неймана последовательно произведем подстановку в, затем в и так далее, сменив обозначения переменных

.

.

В кратных интегралах изменим порядок интегрирования в соответствии с ниже изображенной областью интегрирования

S

S=t

x

а

0

t

x

а

.

Как и для интегральных уравнений Фредгольма, приняв за первое итерированное ядро данное ядро, за второе итерированное ядро примем

тогда

.

Аналогично найдем

где

……………………………………………………………………….. (9.1)

где

(9.2)

…………………………………… .

Подставим полученные выражения коэффициентов , в соответствии с полученными формулами (9.1), в ряд (8.2) и, в силу равномерной и абсолютной сходимости этого ряда, можем просуммировать интегралы

Выражение в квадратных скобках назовем резольвентой интегрального уравнения Вольтерра второго рода и для нее введем обозначение

(9.3)

Если итерированные ядра найдены, а следовательно и резольвента, то решение интегрального уравнения Вольтерра (8.1) определится по формуле

. (9.4)

Аналогично, группируя интегралы попарно в формулах (9.1) для коэффициентов начиная с последней пары, для итерированных ядер получим другую формулу

n=2,3,… . (9.5)

В формулу резольвенты (9.3) подставив выражения итерированных ядер (9.2)

получим интегральное уравнение резольвенты

(9.6)

Если в формулу резольвенты (9.3) подставить выражения итерированных ядер (9.5), то получим другое интегральное уравнение резольвенты

. (9.7)

Пример 10. Построить резольвенту ядра K(x,t) = x – t .

Решение. По формулам (9.2) находим итерированные ядра

…………..,

и по индукции выписываем

…………. .

Затем по формуле (9.3) находим резольвенту

Пример 11. Вычислив итерирование ядра и резольвенту, найти решение уравнения

.

Решение. Положив , выпишем ядро

.

Далее по формулам (9.2) найдём

,

,

…………………………………………………………………….. .

По индукции выпишем n-ое итерированное ядро

и по формуле (9.3 ) найдём резольвенту

.

Решение интегрального уравнения получим по формуле (9.4)

Ответ:

Нетрудно проверить что найденная функция является решением исходного уравнения

!!!§10. Решение уравнений Вольтерра с разностными ядрами с помощью преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа для произвольной (комплекснозначной) функции действительного переменного определяется следующим образом:

(10.1)

где – комплексная переменная.

Функция называется оригиналом, а –изображением (образом) функции .

Преобразование Лапласа существует для непрерывных и кусочно-непрерывных функций, удовлетворяющих условию , где - некоторые числа. Далее считаем, что в указанной оценке взято наименьшее из возможных чисел , которое называется показателем роста функции f(x).

Для всякого оригинала f(x) функция определена в полуплоскости и является в этой полуплоскости аналитической функцией.

Формулу (10.1) кратко будем записывать так:

По известному изображению оригинал находится с помощью обратного преобразования Лапласа

(10.2)

где путь интегрирования расположен параллельно мнимой оси комплексной плоскости справа от всех особых точек функции f(p),что соответствует .

Интеграл в (10.2) понимается в смысле главного значения

Формула (10.2) справедлива для непрерывных функций. В отрицательной области формула (10.2) даёт .

Если в точке , функция f(x)имеет конечный разрыв первого рода, то правая часть формулы (10.2) в этой точке дает значение (при первый член в квадратных скобках должен быть опущен).!!!

Формулу обращения преобразования Лапласа (10.2) кратко будем записывать так:

Сверткой (по Лапласу) двух функций f(x) и называется выражение

!!!

Справедлива теорема о свертке:

которая часто используется при решении уравнений Вольтерра с разностным ядром [2]. [20], [33].

Уравнения Вольтерра второго рода с ядром, зависящим от разности аргументов, имеют вид

(10.3)

Применяя преобразование Лапласа £ к уравнению (10.3) и учитывая, что интеграл с ядром, зависящим от разности аргументов, по теореме о свертке преобразуется в произведение приходим к уравнению для образа искомой величины

(10.4)

Решение уравнения (10.4) определяется формулой

(10.5)

которую можно записать в эквивалентном виде

(10.6)

Применяя к (10.6) обратное преобразование Лапласа, получим решение уравнения (10.3) в виде

(5)

(10.7)

где

При использовании формулы (10.7) могут возникнуть технические трудности:

1°. При получении изображения для конкретного ядра

2°. При нахождении оригинала резольвенты (10.7), изображение которого находится по формуле (10.6).

Для вычисления соответствующих интегралов применяют таблицы прямых и обратных преобразований Лапласа, причем во многих случаях для обратного преобразования используют методы теории функций комплексного переменного, включая теорему о вычетах.

Замечание. Если нижний предел в интеграле уравнения Вольтерра с ядром, зависящим от разности аргументов, равен , то его можно свести к уравнению вида (10.3) с помощью замены

На рисунке приведена принципиальная схема решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода с разностным ядром с помощью интегрального преобразования Лапласа.

Схема решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода с разностным ядром с помощью интегрального преобразования Лапласа, –оригинал функции

.

Преобразование Лапласа можно применить для решения систем интегральных уравнений Вольтерра вида

Подействуем на систему преобразованием Лапласа. Тогда будем иметь

Решая эту систему линейных алгебраических уравнений, определим , и решение рассматриваемой системы примет вид [2], [20]

Пример 12. Рассмотрим уравнение

которое является частным случаем уравнения (10.3)

Сначала, используя таблицы преобразований Лапласа, получим образ ядра инте­грального уравнения в виде

Затем по формуле (10.6) найдем образ резольвенты

Используя далее таблицы обратных преобразований Лапласа, получим оригинал резольвенты

Заметим, что в частном случае при получаем Подставляя эти выражения в формулу (10.7), находим решение интегрального уравнения. В частности, при это решение имеет вид [20]

Пример 13. Решить интегральное уравнение:

Решение. Известно, что

Пусть. Применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения и учитывая при этом теорему умножения (изображения свертки), получим

Отсюда

или

Следовательно, решение данного интегрального уравнения есть