§3 Интегральные уравнения Вольтера как частный случай уравнений Фредгольма
Интегральные уравнения Вольтерра как первого так и второго рода
при некоторых ограничениях можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма.
Чтобы показать это построим новое ядро
!!!
и запишем интегральное уравнение Фредгольма с этим ядром
.
П
t
t=x
0
Ядро H(x,t) равно нулю вне заштрихованной части квадрата, по которой берётся Фредгольмовский интеграл и оба интеграла вычисляются по заштрихованной области, следовательно, они равны т.е.
Однако интегральные урравнения Вольтерра обладают свойствами характерными только для них. Для них применимы некоторые методы решения и исследования, которые не применимы или имеют существенные ограничения для уравнений Фредгольма.
Пример 1. Для интегрального уравнения Вольтерра второго рода
записать эквивалентное интегральное уравнение Фредгольма.
Решение. Строим ядро
и записываем уравнение Фредгольма с этим ядром
которое и будет эквивалентным данному.
§4. Решение интегральных уравнений Вольтерра методом дифференцирования
Некоторые интегральные уравнения Вольтерра, как первого, так и второго рода решаются методом дифференцирования.
Рассмотрим уравнение Вольтерра второго рода
Продифференцируем данное уравнение
применив
правило дифференцирования интеграла
по параметру x
(
-
переменная вне интеграла).
В
случае вырожденных ядер можно применить
правило дифференцирования произведения,
предварительно вынося множитель
зависящий только от 
из под интеграла.
Исключая неизвестный интеграл из двух уравнений, данного и полученного после дифференцирования, получим дифференциальное уравнение первого порядка. Если после первого дифференцирования исключить интеграл от неизвестной функции не удаётся можно попытаться осуществить исключение после n-кратного дифференцирования.
Особенно
метод эффективен, если после n-кратного
дифференцирования удаётся производную
выразить через ядро 
.
Это легко удаётся осуществить, например,
для следующих функций 
и
др.
Пример 2. Найти решение уравнения Вольтерра второго рода
Решение. Дифференцируем данное уравнение
и решаем полученное дифференциальное уравнение
при
начальном условии 
находим значение постоянной 
Ответ:
Проверка. Найденную функцию подставляем в исходное уравнение
и вычислив интегралы, получим тождество
Следовательно, эта функция удовлетворяет заданному равнению и является его решением.
Пример 3. Найти решение уравнения Вольтерра первого рода.
.
Решение. Дифференцируем данное уравнение
и заменив неизвестный интеграл его значением из данного уравнения
найдём решение дифференциального уравнения.
Ответ:
.
Проверка. Подставим полученную функцию в исходное уравнение
откуда
получаем тождество 