- •010400.62 «Прикладная математика и информатика»
- •Введение
- •§1. Классификация интегральных уравнений
- •§2. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям Вольтерра
- •Задача o таутохроне
- •Задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка
- •3.Задача Коши для линейных уравнений высших порядков
- •4.Краевые задачи для дифференциальных уравнений
- •§3 Интегральные уравнения Вольтера как частный случай уравнений Фредгольма
- •§4. Решение интегральных уравнений Вольтерра методом дифференцирования
- •§5. Решение интегральных уравнений с помощью степенных рядов
- •§6. Решение интегральных уравнений Вольтерра методом последовательных приближений
- •Уравнение второго рода
- •Уравнения первого рода
- •§7. Интегральные уравнения Вольтерра с вырожденными ядрами
- •Уравнения Вольтерра второго рода
- •Уравнения Вольтерра первого рода
- •§8. Решение уравнений Вольтерра второго рода с помощью ряда Неймана
- •§9. Итерированные ядра и резольвента интегральных уравнений Вольтерра
- •!!!§10. Решение уравнений Вольтерра с разностными ядрами с помощью преобразования Лапласа
- •§11. Задачи для самостоятельного решения
- •Литература
- •Содержание
§2. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям Вольтерра
-
Задача o таутохроне
Найти кривую, скользя вдоль которой без трения тяжелая частица достигает своего самого низкого положения за одно и то же время независимо от её начального положения.
Решение. Выполним чертеж
и введем обозначения , Т – постоянная величина, - функция от h, кривую будем искать в виде .
Далее воспользовавшись формулой из физики
(2.1)
и формулами из курса математического анализа
, где , (2.2)
подставим формулы (2.2) в равенство (2.1)
, откуда .
Введем обозначение и так как с течением времени функция s(t) убывает, то оставляем знак минус
. (2.3)
Полученное равенство (2.3) проинтегрируем по t (0≤ t ≤ T), в то же время изменяется от h до 0 (h ≥≥ 0) и h – переменная величина
,
откуда
. (2.4)
Интегральное уравнение вида (2.4) есть уравнение Вольтерра первого рода, где u(x) - неизвестная функция. Решение таких уравнений впервые предложил Абель и поэтому уравнения такого вида называются уравнениями Абеля.
-
Задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка
, . (2.5)
Формально проинтегрировав уравнение в задаче (2.5) с пределами интегрирования от до x получим нелинейное уравнение Вольтерра второго рода
,
которое эквивалентно задаче (2.5).
3.Задача Коши для линейных уравнений высших порядков
,, , где . (2.6)
Положим
(2.7)
тогда
,
где – любое из отрезка [a,b] при нахождении общего решения и – начальное значение при решении задачи Коши. Интегрируя далее, необходимое число раз, найдём
и по формуле Коши для кратного интегрирования имеем
,
…………………………………………………………
,
,
………………………………………………………
,
. (2.8)
Найдем дифференциальный оператор , подставив в него полученные выражения для функции и её производных
.
Введем обозначения
,
.
Тогда выражение для дифференциального оператора перепишется
и вводя обозначение g(x) = f(x) – придем к разрешающему интегральному уравнению
, (2.9)
которое эквивалентно первоначальной задаче.
4.Краевые задачи для дифференциальных уравнений
Рассмотрим линейную краевую задачу
,
, , (2.10)
где , функции и – непрерывны коэффициенты и – постоянные числа.
Как и в предыдущей задаче введем новую функцию
и выпишем выражения производных и самой функции y(x)
, (2.11)
, где .
Если в (2.11) положить , то получим и соотношения (2.11) перепишутся
. (2.12)
При из (2.11) имеем
. (2.13)
Подставляем выражения для производных (2.13) в краевые условия (2.10)
или, группируя члены с одноимёнными производными, получим систему n линейных неоднородных алгебраических уравнений с неизвестными .
. (2.14)
Обозначим определитель этой системы через
=det.
Пусть ≠ 0, тогда , обозначив через ij миноры определителя с их знаками в алгебраических дополнениях, получим
(2.15)
.
Найдем выражение дифференциального оператора через новую функцию
(2.16)
где
.
Подставляя выражение (2.16) в уравнение краевой задачи(2.10), придем к разрешающему интегральному уравнению смешанного типа Вольтерра-Фредгольма
где F(x) = f(x) – Ф (x).
Полученное разрешающее уравнение эквивалентно первоначально поставленной краевой задаче (2.10).
Аналогичных задач в различных областях знаний возникает множество, мы ограничимся приведёнными.