§5. Решение интегральных уравнений с помощью степенных рядов

Для уравнений Вольтерра второго рода

(5.1)

будем искать решение в виде степенного ряда

. (5.2)

Подставим ряд (5.2) в уравнение (5.1)

(5.3)

и положив , найдем .

Затем, дифференцируя равенство (5.3) по и, полагая после каждого дифференцирования , последовательно определим следующие коэффициенты степенного ряда (5.2)

(5.)

Откуда, при найдем

Аналогично найдем для ,... Следующие коэффициенты определяются через значения и предыдущие коэффициенты.

В общем случае записать рекуррентную формулу для нахождения степенного ряда проблематично, а тем более доказать его сходимость. Так как далее мы рассмотрим более эффективные методы решения, то здесь этого делать не будем.

Для некоторых частных видов уравнений найти решение интегрального уравнения Вольтерра бывает не сложно. Приведем пример.

Пример 4. Найти решение уравнения

.

Решение. Будем искать решение в виде степенного ряда

Подставим этот ряд в данное уравнение

(*)

и, положив , найдем . Затем дифференцируем равенство (*)

(**)

и снова положив , найдем , т.е. . Далее дифференцируем равенство (**)

И положив , найдем 2 . Продолжаем те же операции далее

откуда при получим

.

Продифференцировав ещё раз найдём

откуда при получим

, и т.д. . ,…

Нетрудно проверить, что получен точный ответ.

§6. Решение интегральных уравнений Вольтерра методом последовательных приближений

1. Уравнение второго рода

(6.1)

Теорема 1. Уравнение (6.1), если свободная функция и ядро - непрерывные функции при , имеет единственное непрерывное решение при любом значении параметра . Это решение может быть найдено методом последовательных приближений.

Доказательство. Примем за начальное приближение свободную функцию .

Выпишем рекуррентную формулу последовательных приближений по методу Пикара

(6.2)

В соответствии с условием теоремы имеем ограничения и используя которые оценим последовательные приближения (6.2) по модулю

,

…..………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………..

при 0!=1.

Положим далее x = b, b > a и b любое, тогда

(6.3)

Как видим оценка го приближения к решению дается числовым рядом, который по признаку Даламбера сходится.

Действительно

Ряд в неравенстве (6.3) по построению является мажорирующим для ряда

(6.4)

частичная сумма которого равна

Тогда по критерию Вейерштрасса ряд (6.4) сходится абсолютно и равномерно и, следовательно, имеет непрерывную сумму

Остается доказать, что эта непрерывная функция является решением уравнения (6.1). Для этого в равенстве (6.2) перейдем к пределу

и в силу теоремы о единственности предела имеем

. (6.5)

Методом от противного докажем единственность полученного решения. Предположим, что существует другое решение тогда выполняется тождество

. (6.6)

Вычтем из тождества (6.5) тождество (6.6) и оценим по модулю эту разность

(6.7)

Неравенство (6.7) должно выполняться для всех значений следовательно оно выполняется и для и пусть этот максимум достигается в точке , тогда имеем неравенство

или откуда , что противоречит ранее доказанному, что может принимать любые значения. Противоречие снимается, если положить Единственность доказана.

Пример 5. Применив метод последовательных приближений найти приближённое решение уравнения

на отрезке с точностью

Решение. За начальное приближение примем свободную

функцию тогда

.

Затем находим

Далее по индукции выписываем

,

следовательно

.

За приближённое решение примем

,

тогда по теореме Лейбница для знакочередующихся рядов погрешность не превосходит максимума первого члена отброшенного остатка ряда, т.е.

.

Чтобы удовлетворить требуемую точность необходимо положить

,

тогда по той же теореме Лейбница имеем гарантированную погрешность

.

И так условие задачи выполнено.