- •010400.62 «Прикладная математика и информатика»
- •Введение
- •§1. Классификация интегральных уравнений
- •§2. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям Вольтерра
- •Задача o таутохроне
- •Задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка
- •3.Задача Коши для линейных уравнений высших порядков
- •4.Краевые задачи для дифференциальных уравнений
- •§3 Интегральные уравнения Вольтера как частный случай уравнений Фредгольма
- •§4. Решение интегральных уравнений Вольтерра методом дифференцирования
- •§5. Решение интегральных уравнений с помощью степенных рядов
- •§6. Решение интегральных уравнений Вольтерра методом последовательных приближений
- •Уравнение второго рода
- •Уравнения первого рода
- •§7. Интегральные уравнения Вольтерра с вырожденными ядрами
- •Уравнения Вольтерра второго рода
- •Уравнения Вольтерра первого рода
- •§8. Решение уравнений Вольтерра второго рода с помощью ряда Неймана
- •§9. Итерированные ядра и резольвента интегральных уравнений Вольтерра
- •!!!§10. Решение уравнений Вольтерра с разностными ядрами с помощью преобразования Лапласа
- •§11. Задачи для самостоятельного решения
- •Литература
- •Содержание
§1. Классификация интегральных уравнений
Интегральными уравнениями называют уравнения, в которых неизвестная функция независимого аргумента (скалярного или векторного) входит под знак интеграла. Во-первых, различают линейные и нелинейные интегральные уравнения.
Выпишем общий вид нелинейного интегрального уравнения типа Вольтерра
. (1.1)
Более частными видами нелинейных интегральных уравнений будут уравнения вида
(1.2)
и
. (1.3)
Приведенные виды интегральных уравнений содержат интегральные операторы с переменным верхним пределом равным x. Один из пределов интегрирования может быть и функцией от x. Такие уравнения будем называть уравнениями Вольтерра.
Если верхний предел интегрирования x заменить на постоянное значение b, то уравнение такого вида будем называть уравнениями Фредгольма. В этом случае уравнение (1.2) называется уравнением Урысона, а уравнение (1.3) – уравнением Гаммерштейна.
Линейные интегральные уравнения Вольтера имеют вид
. (1.4)
Если в уравнении (1.4) , то получим уравнение
, (1.5)
которое называется интегральным уравнением Вольтерра первого рода.
Если , то уравнение (1.4) называется уравнением Вольтерра второго рода.
Если в уравнении (1.4) для всех рассматриваемых значений x, то, поделив уравнение (1.4) на поучим уравнение Вольтерра второго рода следующего вида
, (1.6)
где , .
В уравнении (1.6) -неизвестная функция -ядро интегрального уравнения, -известная функция, называемая свободным членом или правой частью интегрального уравнения.
Функции и обычно считают непрерывными, либо квадратично интегрируемыми на Ядро интегрального уравнения полагают непрерывным в квадрате либо регулярным, удовлетворяющим условию
(1.7)
где B-постоянная, т.е. квадратично интегрируемым в этом квадрате. В формуле (1.7) предполагается, что K(x,t) при t > x. В этих классах функций решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода существует и единственно.
При уравнение (1.6) называют однородным, а при -неоднородным.
Ядро интегрального уравнения называется вырожденным, если оно представимо в виде
Ядро интегрального уравненияназывается разностным, если оно зависит от разности аргументов:
Замечание 1. Однородное интегральное уравнение Вольтерра второго рода имеет только тривиальное решение.
Замечание 2. Случай, когда или даже при , вообще говоря, не исключается, но при этом следует внимательно проверять выполнение условия квадратичной интегрируемости ядра в квадрате
В уравнениях (1.4) - (1.6) – числовой параметр, функции и называются ядрами интегральных уравнений и, соответственно, и – свободными функциями линейных неоднородных интегральных уравнений.
Если и то уравнения называются однородными, в противном случае неоднородными.
Рассмотренные понятия распространяются и на уравнения Фредгольма.
При построении моделей многих задач с последействием, в частности краевых задач, разрешающие уравнения могут содержать неизвестную функцию и под знаком интеграла с постоянными пределами интегрирования и под знаком интеграла с переменными пределами интегрирования одновременно. Такие интегральные уравнения называют интегральными уравнениями смешанного типа Вольтерра-Фредгольма. Ниже приведён пример линейного интегрального уравнения смешанного типа Вольтерра-Фредгольма второго рода
Приведем общий вид нелинейного интегро-дифференциального уравнения Вольтерра с обыкновенным аргументом
и линейного
,
где
Далее выпишем общий вид линейного неоднородного интегро-дифференциального уравнения Вольтерра с функциональными отклонениями
.
Последнее уравнение с функциональным запаздыванием, если
, , функции и – обычно считаются непрерывными, ядра – регулярными в квадрате .