- •010400.62 «Прикладная математика и информатика»
- •Введение
- •§1. Классификация интегральных уравнений
- •§2. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям Вольтерра
- •Задача o таутохроне
- •Задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка
- •3.Задача Коши для линейных уравнений высших порядков
- •4.Краевые задачи для дифференциальных уравнений
- •§3 Интегральные уравнения Вольтера как частный случай уравнений Фредгольма
- •§4. Решение интегральных уравнений Вольтерра методом дифференцирования
- •§5. Решение интегральных уравнений с помощью степенных рядов
- •§6. Решение интегральных уравнений Вольтерра методом последовательных приближений
- •Уравнение второго рода
- •Уравнения первого рода
- •§7. Интегральные уравнения Вольтерра с вырожденными ядрами
- •Уравнения Вольтерра второго рода
- •Уравнения Вольтерра первого рода
- •§8. Решение уравнений Вольтерра второго рода с помощью ряда Неймана
- •§9. Итерированные ядра и резольвента интегральных уравнений Вольтерра
- •!!!§10. Решение уравнений Вольтерра с разностными ядрами с помощью преобразования Лапласа
- •§11. Задачи для самостоятельного решения
- •Литература
- •Содержание
-
Уравнения Вольтерра первого рода
(7.5)
где условие , будем считать выполненным.
Аналогично, как и в предыдущем случае вводим неизвестные функции
(7.6)
и дифференцируем это равенство
. (7.7)
Затем дифференцируем исходное уравнение
откуда находим
. (7.8)
Выразив из соотношения (7.7) и подставив в (7.8), получим систему линейных дифференциальных уравнений для определения функций
, (7.9)
с начальными условиями
Если удастся найти решение системы (7.9) с этими начальными условиями, то решение определиться по формуле (7.7)
при любом
Значительно проще вопрос решается, если вырожденное ядро состоит из одного слагаемого
(7.11)
при аналогичном условии .
Как и ранее вводим новую функцию
(7.12)
и дифференцируем ее
. (7,13)
Затем дифференцируем исходное уравнение
и используя равенства (7.12) и (7.13) придем к линейному дифференциальному уравнению первого порядка
(7.14)
с начальным условием .
Пример 8. Найти решение уравнения
Решение. Вводим новую функцию
и находим её производную
,
затем дифференцируем исходное уравнение и подставляем новую функцию в полученное уравнение
Поделив результат на , получим линейное дифференциальное уравнение
и решаем его
Используя начальное условие определяем значение постоянной , следовательно
и .
Используя это значение находим
Ответ: .
Нетрудно проверить что полученная функция удовлетворяет заданному уравнению, действительно, подставив найденное решение в исходное уравнение, найдём
=
§8. Решение уравнений Вольтерра второго рода с помощью ряда Неймана
Будем искать решение уравнения
(8.1)
в виде ряда по степеням параметра
. (8.2)
Подставив ряд (8.2) в уравнение (8.1)
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа в полученном равенстве (так как ряды слева и справа от равенства равны только в этом случае) найдем
…,… (8.3)
Докажем сходимость ряда (8.2) при найденных выражениях его коэффициентов (8.3) при следующих ограничениях
(8.4)
в квадрате .
Для выполнения условий (8.4) достаточно чтобы функция f(x) и ядро K(x,t) в рассматриваемой области были непрерывными. Для ядра K(x,t) можно условие ослабить, потребовав только его регулярность.Оценим коэффициенты ряда (8.2) по модулю в этой области
,
………………………………….… ,
……………………………… .
Построим ряд с полученными оценками коэффициентов ряда (8.2)
и положив в нём , где любое, получим числовой ряд
(8.5)
Числовой ряд (8.5) сходится по признаку Даламбера
.
Ряд (8.5) по построению является мажорирующим для ряда (8.2), следовательно ряд (8.2) по критерию Вейерштрасса сходится равномерно и абсолютно.
Пример 9. Решить уравнение
Решение. Найдём коэффициенты ряда (8.2)
.
Подставив вычисленные коэффициенты в ряд (8.2) при найдём
Ответ: